Dossier: le paradoxe de Zénon - Achille et la tortue

Dossier de Mathieu dans l’épisode #9.

Le paradoxe du mouvement

Un personne qui veut aller vers un mur, ne pourra jamais parcourir la distance qui la sépare du mur.
Parce que d’abords elle doit atteindre la moitié de la distance qui la sépare de ce mur.
Mais avant d’atteindre le milieu de cette distance qui la sépare au mur, elle doit d’abords parcourir la moitié de celle-ci.
Mais avant, la moitié de la moitié de celle-ci…
Et ceci éternellement jusqu’à l’infini…
D’un point de vue purement théorique, une personne ne peut pas parcourir une certaine distance, elle est condamnée à rester immobile, parce qu’elle doit toujours parcourir la moitié de la moitié de la moitié…de la distance qui la sépare de sa destination.
=> ça pourrait laisser sous-entendre que au bout du compte le mouvement physique est impossible et n’existe pas et que le mouvement n’est qu’une illusion.
Mais on se rend bien compte que dans la réalité c’est pas comme ça, c’est possible de se déplacer d’un point à un autre.

Les paradoxes de Zénon

Philosophe grec qui a émis un certain de nombre de paradoxes lié à cette illusion du mouvement.
Dans le paradoxe d’Achille et de la tortue:
- Il est dit qu’un jour, le fameux héros grec Achille a disputé une course à pied avec une tortue.
- Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement à la tortue une avance de mille mètres (1 km).
- Zénon affirme alors que le rapide Achille n’a jamais pu rattraper la tortue:
  - En effet, supposons pour simplifier le raisonnement que chaque concurrent court à vitesse constante, l’un très rapidement, et l’autre très lentement
  - Au bout d’un certain temps, Achille aura comblé ses mille mètres de retard et atteint le point de départ de la tortue ; mais pendant ce temps, la tortue aura parcouru une certaine distance, certes beaucoup plus courte, mais non nulle, disons 100 mètres.
  - Cela demandera alors à Achille un temps supplémentaire pour parcourir cette distance, pendant lequel la tortue avancera encore plus loin.
  - Et puis une autre durée avant d’atteindre ce troisième point, alors que la tortue aura encore progressé.
  - Ainsi, toutes les fois où Achille atteint l’endroit où la tortue se trouvait, elle se retrouve encore plus loin.
  - Par conséquent, Achille n’a jamais pu et ne pourra jamais rattraper la tortue.

Subtilité mathématique pour résoudre ce paradoxe

Basée sur le calcul infinitésimal qu’on connaissait pas à l’époque de Zénon.
L‘erreur mathématique dans le raisonnement introduit dans le paradoxe consiste à affirmer que la somme d’une infinité d’événements de plus en plus brefs tend vers l’infini, c’est-à-dire qu’Achille n’arrive jamais (temps infini) à rattraper la tortue.
C’est James Gregory (1638-1675), un mathématicien écossais du XIIème siècle qui a démontré le contraire:
- Une somme infinie de nombre peut avoir un résultat fini.
- Une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.
Les distances (et aussi les intervalles de temps) que doit parcourir Achille pour aller d’un point où se trouvait la tortue au point suivant sont toujours infiniment plus petits, et la somme de ces distances (intervalles de temps) donne mathématiquement un résultat fini: la valeur de ce résultat fini donne le point (moment auquel) où Achille dépassera la tortue.
On voit que la moitié de la distance + la moitié de la moitié de la distance + la moitié de la moitié de la moitié de la distance…donne comme résultat une distance entière (et un temps entier!). On peut donc parcourir un nombre infini de moitiés en un temps fini.

Que dit la mécanique quantique?

La mécanique quantique a découvert que l’évolution dynamique (motion) d’un système quantique peut-être altérer, voire même inhiber à cause de la propre observation de ce système.
C’est ce qu’on appelle l’effet quantique de Zénon (quantum Zeno effect).
Alan Turing, un de pères de l’informatique, avait d’ailleurs à l’époque exprimer ça:
- Si on fait N mesures/secondes de l’état d’un système qu’on observe, alors même si l’état n’est pas stationnaire, la probabilité que le système sera dans le même état après une seconde tends vers 1 si N tends vers l’infini.
- Ce qui veut dire que les observations continuelles empêchent le système d’évoluer d’un état vers un autre et donc d’être dynamique.

Sources:

Merci !