VN:F [1.9.22_1171]
Rating: 4.9/5 (17 votes cast)

L’infini est depuis toujours dans la tête des hommes sans pour autant qu’ils arrivent à l’appréhender. Parfois objet de fantasme, on le croise dans beaucoup de publicités allant des forfaits téléphoniques illimités aux restaurants à volonté. D’autres fois objet d’inquiétude devant son immensité comme a eu l’occasion de le dire Pascal :

Le silence éternel de ces espaces infinis me terrifie – Pascal

L’infini peut être très grand, mais aussi très petit. Dans l’antiquité, Zénon d’Élée présente une première approche de cet infiniment petit par le biais d’un paradoxe. Prenons deux points A et B représentés sur la figure ci-dessous.

Ce paradoxe explique qu’un objet ne peut aller de A à B en un temps fini. En effet, pour atteindre B en partant de A, cet objet doit passer par le milieu M du segment. Puis il doit passer par le milieu M’ de MB, puis par le milieu M” de M’B et ainsi de suite… L’objet doit donc passer par une infinité de points, ce qui est impossible (selon Zenon) en un temps fini.

Ce très vieux paradoxe illustre que l’on peut aussi croiser l’infini dans des espaces finis (ici le segment AB) en pratiquant une simple opération de découpage par deux. Pour plus de détails sur ce paradoxe et sa résolution, je vous invite à aller écouter le petit dossier de Mathieu sur le sujet dans le n°9 du podcast.

Chez les mathématiciens, l’infini a été un des plus importants sujets de discorde de l’histoire. Il y a un siècle seulement a eu lieu un véritable tremblement de terre au sein de la communauté mathématique au point que certains ont voulu éliminer l’infini des limites autorisées dans cette science! Tout cela à cause des travaux d’un seul homme, Georg Cantor, qui pour la première fois dans l’histoire réussissait à appréhender l’infini avec rigueur, mais certains de ses résultats remirent en cause les bases sur lesquelles se fondaient les mathématiques depuis des siècles.

Ce dossier présente les principaux résultats de ce “corrupteur de jeunesse” (c’est le nom que lui donnait un autre scientifique célèbre de l’époque, Kronecker) et quelques-unes de leurs implications.

Réapprendre à compter

Une des premières rencontres avec l’infini se fait très tôt, en répondant à la question “jusqu’à quel nombre sais-tu compter?”. Contrairement à l’affirmation commune, on n’arrive jamais à compter jusqu’à l’infini, mais on connait une méthode pour à partir d’un nombre donner, trouver le chiffre suivant. Roman Opalka, un artiste contemporain, a bien essayé de compter jusqu’à l’infini (une de ses peintures ci dessous), mais après 40 ans de travail, il trouve toujours le chiffre suivant!

Il n’est donc pas possible en temps fini de compter tous les nombres. Mais est-il possible de savoir s’il y a plus de nombres entiers :

0,1,2,3,4,5,6,7,8,...

que de nombres pairs :

0,2,4,6,8,10,12,14,16...

La réponse semble être évidemment qu’il y a plus de nombres entiers que de nombres pairs étant donné que les nombres pairs sont strictement inclus dans les nombres, mais comment en être sûr?

Toutes les personnes ayant invité le temps d’une soirée des amis ont déjà trouvé, sans s’en rendre compte, une solution pour comparer efficacement des ensembles, même infinis! Pour qu’une soirée soit réussie, il est préférable que chaque invité ait un verre. On peut, bien sûr, compter le nombre des verres et le comparer avec le décompte du nombre d’invités. Étrangement, cette solution est rarement la plus efficace, que ce soit à cause d’un ami enfermé aux toilettes ou d’une erreur de compte pour cause d’ébriété.
Une méthode autrement plus efficace est de donner un verre à chaque invité. Si alors il reste des verres, c’est qu’il y a plus de verres que d’invité et inversement si des invités n’ont pas de verre c’est qu’il y a moins de verre que d’invité.

Pour comparer “l’ensemble des verres” et “l’ensemble des invités”, on a ainsi essayé d’associer à chaque invité un verre. Inversement, on sait retrouver à quel invité appartient le verre en regardant qui est au bout du bras qui le tient. Ce type d’application s’appelle en mathématique une “bijection”. Une bijection est une application entre deux espaces, elle associe à chaque élément de l’espace de départ (ici un invité) un unique élément de l’espace d’arrivée (ici un verre) et inversement à chaque élément de l’espace d’arrivée est associé un unique élément de l’espace de départ.

L’intérêt de ce type de transformation est de pouvoir comparer des ensembles. Ainsi, si chaque invité à un verre, on pourra dire que l’ensemble des verres contient autant d’éléments que l’ensemble des invités.

Armés de cette “bijection”, nous sommes à même de comparer des ensembles qu’ils soient finis ou infinis. Et c’est grâce à ce simple outil que Cantor a pu fabriquer sa théorie de l’infini.

Le merveilleux hôtel de Hilbert

Pour enseigner les nouvelles théories de Cantor, Hilbert, déjà un mathématicien célèbre à l’époque, propose une métaphore qui depuis porte son nom : l’Hôtel de Hilbert.

Cet hôtel est un lieu merveilleux puisqu’il contient une infinité de chambres. Et sa renommée à travers l’univers a fait ses preuves à tel point qu’aujourd’hui chacune des chambres est pleine. C’est-à-dire que quel que soit le numéro de chambre (par exemple la chambre n°1 345 765), il y a quelqu’un à l’intérieur. Un jour, se présente à la réception une personne souhaitant une chambre pour la nuit. Un propriétaire d’hôtel fini serait obligé de refuser cette nouvelle personne, mais le propriétaire de l’hôtel infini a plus d’un tour dans son sac. Il prend son micro et lance une annonce pour tous les résidents de l’hôtel :

“A chaque locataire, la direction a besoin de réorganiser l’hôtel, veuillez immédiatement rejoindre la chambre dont le numéro est immédiatement supérieur au vôtre. En nous excusant du dérangement”.

Ainsi, le locataire de la chambre 1 est maintenant dans la chambre 2
celui de la chambre 2 est maintenant dans la chambre 3
celui de la chambre 3 est maintenant dans la chambre 4

celui de la chambre 1 345 765 est maintenant dans la chambre 1 345 766

et ainsi de suite. Étant donné que chaque entier a un entier qui lui est directement supérieur, tous les locataires ont une chambre! Plus étonnant encore, grâce à cette réorganisation, il y a maintenant une place disponible dans la première chambre, on a donc

\infty=\infty+1
Ce résultat était connu de longue date et a perturbé beaucoup de scientifiques. En particulier, il est contraire à un des postulats de Galilée :

“Le tout est toujours plus grand que n’importe laquelle de ses parties”

Ici “le tout” est l’ensemble des entiers naturel strictement positifs, noté \mathbb{N}^+ :

\mathbb{N}^+=\{1,2,3,...\}

et “une de ses partie” est l’ensemble des entiers plus grand ou égal à 2 :

\mathbb{N}^+\setminus\{1\}=\{2,3,4,...\}
Déplier pour comprendre la notation du deuxième ensemble.

Dans cette notation, \mathbb{N} désigne l’ensemble des entiers naturels. \{1\} désigne l’ensemble qui ne contient que le chiffre 1 et l’opération “\setminus” consiste à retirer les éléments du deuxième ensemble (ici 1) du premier (ici les entiers naturels).

L’ensemble \{2,3,4,...\} est contenu dans \{1,2,3,...\} et devrait donc, selon Galilée, être plus petit que \mathbb{N}. Or, le propriétaire de l’hôtel de Hilbert a trouvé une “bijection” entre les deux ensembles. Cette “bijection” que l’on va noter b associe à un entier l’entier qui le suit. Par exemple

b(1)=2
b(2)=3
b(3)=4

b(1 345 765)=1 345 766

Cette application associe bien à chaque entier de \{1,2,3,...\} un unique entier de \{2,3,4,...\}. Ces deux ensembles ont donc le même nombre d’éléments.

Revenons-en à l’hôtel infini. Devant ce succès pour loger le nouvel arrivant, par le bouche à oreilles, le mois suivant un bus infini arrive à l’hôtel encore une fois complet! Gardant son flegme légendaire, le propriétaire lance l’annonce suivante :

“A chaque locataire, la direction a besoin de réorganiser l’hôtel, veuillez immédiatement rejoindre la chambre dont le numéro correspond au double de votre numéro de chambre actuel. En nous excusant du dérangement”.

Ainsi, le locataire de la chambre 1 est maintenant dans la chambre 2
celui de la chambre 2 est maintenant dans la chambre 4
celui de la chambre 3 est maintenant dans la chambre 6

celui de la chambre 1 345 765 est maintenant dans la chambre 2 691 530 (celui-ci aura un peu plus de marche que les autres).

et ainsi de suite.

Le propriétaire a ainsi libéré toutes les chambres ayant un numéro impair \{1,3,5,...\} en envoyant tous ses locataires dans les chambres paires \{2,4,6,...\}, il reste donc une infinité de places libres pour loger les nouveaux arrivant. Ce qui permet d’affirmer

\infty=\infty+\infty
Et en particulier, il y a autant d’éléments dans l’ensemble des nombres pairs que dans l’ensemble de tous les nombres.

Ce résultat est correct, mais il est normal de ne pas l’accepter tout de suite, il va à l’encontre de l’intuition. Pourtant il est fondé, contrairement à l’intuition, sur un raisonnement logique. La vidéo ci-dessous résume avec brio ce qui vient d’être dit :

A ce stade, on a réussi à faire rentrer dans l’hôtel un ensemble infini qui paraissaient plus grand. On pourrait faire la même chose avec un bus infini qui possède une infinité d’étages, et ainsi de suite avec plusieurs ensembles infinis. En fait, les ensembles infinis “qui rentrent dans l’hôtel” ou, en termes plus mathématiques, les ensemble infinis pour lesquels il existe une bijection avec l’ensemble des entiers \mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\} sont des ensembles “dénombrables”.

Une fois l’infini dénombrable identifié et défini, il en suit automatiquement une autre question : existe-t-il d’autres types d’infinis? C’est la réponse à cette question qui constitue le résultat le plus connu de Cantor.

La bibliothèque de Babel

La bibliothèque de Babel” est une nouvelle de Jorge Luis Borges. L’auteur y présente une bibliothèque dont l’une des caractéristiques est de contenir tous les livres pouvant exister. Plaçons-nous dans une telle bibliothèque et étendons les limites proposées par Borges (il ne considérait que des livres avec un nombre fini de pages). Imaginons que cette bibliothèque contient une infinité de livres qui chacun contiennent une infinité de pages. Comme Borges l’imagine, supposons alors que cette bibliothèque contient tous les textes possibles qu’ils soient lisibles ou non.

C’est-à-dire que quelque soit la suite (infini) de lettres ou “phrase” choisie :

\text{abzhiosdmjgaokmqljkfldqhkflqjhdgklmdlkflsklfmdkmklgJSDLMGjkmglqd...}

on pourra trouver un livre de la bibliothèque qui lui correspond. Avec les exemples de l’hôtel de la partie précédente, on sait que l’on peut dénombrer les livres de la bibliothèque. On peut donc numéroter chacune des phrases infinies contenues dans chacun des livres de la bibliothèque :

\begin{array}{lcl}\text{Livre 1 }&\text{: }& \text{ahfjklhjkemjagkejrflzamnbgjlknvefjklavefjkzljkefjkmlqghjlee...} \\  \text{Livre 2 }&\text{: }& \text{AuxamesbienneesLavaleurnattendpointlenombredesanneesfhzjkeh...} \\  \text{Livre 3 }&\text{: }& \text{zbvlabjklnfklekvzmebfvkljtnzaghrebqlmasjefqklafjklnkjnnjkln...} \\  \text{Livre 4 }&\text{: }& \text{jfzoejlekpodcastsciencetouslesmercredisgfdshjldmmpoinklefzk...} \\  \text{Livre 5 }&\text{: }& \text{hefzjkLexpositionserafermeedurantlexpositiondjhsklsdfjqkfdh...} \\  \text{ ... }&\text{ }& \text{ } \end{array}

Construisons alors la phrase constituée de la première lettre du premier livre 1, la deuxième du livre 2, la troisième du livre 3 et ainsi de suite (en gras ci dessous)…

\begin{array}{lccccccl}\text{Livre 1 }&\text{: }& \textbf{a}&\text{h}&\text{f}&\text{j}&\text{k}&\text{lhjkemjagkejrflzamnbgjlknvefjklave...} \\  \text{Livre 2 }&\text{: }& \text{A}&\textbf{u}&\text{x}&\text{a}&\text{m}&\text{esbienneesLavaleurnattendpointleno...} \\  \text{Livre 3 }&\text{: }& \text{z}&\text{b}&\textbf{v}&\text{l}&\text{a}&\text{bjklnfklekvzmebfvkljtnzaghrebqlmas...} \\  \text{Livre 4 }&\text{: }& \text{j}&\text{f}&\text{z}&\textbf{o}&\text{e}&\text{jlekpodcastsciencetouslesmercredis...} \\  \text{Livre 5 }&\text{: }& \text{h}&\text{e}&\text{f}&\text{z}&\textbf{j}&\text{kLexpositionserafermeedurantlexpos...} \\  \text{ ... }&\text{ }& \text{ } \end{array}

On obtient la phrase qui commence par “auvoj…”. Maintenant, choisissons pour chaque lettre de cette phrase la suivante dans l’alphabet (si la lettre est un “z”, on choisira un “a”). La phrase obtenue commençant par “bvwpk…” ne peut pas être dans le livre 1, car la première lettre ne correspond pas, ne peut pas être dans le livre 2, car la deuxième lettre ne correspond pas, ne peut pas être dans le livre 3, car la troisième lettre ne correspond pas, etc. Cette phrase ne correspond à aucun livre que contient la bibliothèque!

La seule hypothèse que nous avons pourtant faite est que la bibliothèque de Babel contient toutes les phrases possibles, c’est donc cette hypothèse qui est fausse. L’ensemble de toutes les phrases possible est un infini plus grand encore que l’infini dénombrable de l’ensemble des livres de la bibliothèque de Babel.

L’argument de la diagonale utilisé ici a été trouvé par Cantor en 1874. Pour la première fois, on distinguait deux infinis, l’infini dénombrable et l’infini indénombrable.

  • L’infini dénombrable est celui de l’ensemble des entiers \mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\} et de tous les ensembles en bijection avec celui-ci.
  • L’infini dit “continu” est celui de l’ensemble de toutes les phrases que l’on peut former ou encore celui de l’ensemble des nombres décimaux entre 0 et 1 ou encore l’ensemble des réels (c’est à dire l’ensemble des nombres décimaux avec une infinité de décimales).
Pour le lien entre l'ensemble des phrases et les décimaux entre 0 et 1 ou des réels, déplier!

Les phrases correspondent à des suites de caractères. Chaque caractère est défini dans un alphabet de n lettres (dans la langue française sans accents ni majuscules ni ponctuation, n=26). D’autre part, un nombre entre 0 et 1 peut s’écrire en commençant par “0,” puis en continuant avec des chiffres choisis parmi \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. Il correspond donc à un alphabet de 10 lettres.

On peut même amener l’ensemble des décimaux entre 0 et 1 (un segment) sur les réels (la droite). On va montrer ici comment associer les décimaux entre 0 et 1 sur la demi-droite positive. Une manière de faire est d’associer à chaque nombre x de ]0,1] son inverse \frac{1}{x}. Cela amène le segment sur la demi-droite positive.

Cantor ne s’est pas arrêté là, il a montré qu’il existe d’autres infinis plus grands. En fait, il a donné une méthode pour, à partir d’un espace, construire un autre espace plus grand (n’étant pas en bijection). Cela permet de montrer qu’il y a en fait une infinité d’ensembles infinis plus grands les uns que les autres.

Sa méthode consiste à considérer “l’ensemble des parties” d’un ensemble. Prenons un exemple, l’ensemble qui contient les trois premiers entiers non nuls,

E=\{1,2,3\}
L’”ensemble des parties de E” contient tous les ensembles inclus dans E. Il contient donc

E=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\},\emptyset\}
C’est à dire :

  • Les ensembles ne contenant qu’un seul élément comme \{1\}
  • Les ensembles contenant deux éléments comme \{1,2\}
  • Les ensembles contenant trois éléments soit E
  • L’ensemble vide noté \emptyset. Celui là est plus compliqué que les autres et pourrait être l’objet de nombreuses discussions… Pour le sujet qui nous interresse, il suffit de comprendre qu’il est inclus dans tous les ensemble et qu’il ne contient aucun élément. Si l’on imagine que l’ensemble E est un groupe de personnes (disons les membres de la même équipe de football), alors l’ensemble des parties de E correspond à la liste de tous les groupes de personnes différents que l’on peut créer (y compris celui ne contenant personne!).

De l’ensemble à trois éléments E, on passe donc à huit éléments pour l’”ensemble des parties de E”. On peut en fait démonter que si un ensemble fini contient n éléments, l’ensemble de ses parties en contient 2^n. On remarque donc que dans le cas des ensembles de taille finies, l’ensemble des parties de E contient toujours plus d’éléments que E lui-même.

Cantor a démontré que cela se généralise aux ensembles de taille infinie. Ce résultat a même pris son nom, c’est le Théorème de Cantor. Sa démonstration n’est encore une fois pas compliquée à comprendre mais un peu plus à accepter.
Etant un peu plus technique, je laisse les plus courageux cliquer ici pour dérouler cette démonstration.

Pour démontrer que l’ensemble des parties de E, que nous noterons maintenant P(E) ne peut pas être mis en bijection avec E, on va encore une fois raisonner par l’absurde en supposant que cela est possible.

Si ces deux ensembles peuvent être mis en bijection, alors il existe une bijection b qui à chaque élément de E associe un élément de P(E). C’est à dire, en gardant l’image de l’équipe de foot, qui à chaque individus associe un groupe de membres de l’équipe. Il peut alors se passer deux choses pour un membre de l’équipe donné :

    • soit il fait parti du groupe qui lui est associé par la bijection
    • soit il ne fait pas parti du groupe qui lui est associé par la bijection

Cantor propose alors de définir l’ensemble D des personnes qui ne sont pas dans le groupe qui leur est associé par la bijection. Mathématiquement, on le noterai

D=\{x\in E,x\notin b(x)\}
littéralement : l’ensemble des éléments x de E tels que x n’appartient pas à b(x). Ou encore, avec l’équipe de foot, les membres de l’équipe qui ne sont pas dans le groupe qui leur est associé par la bijection. D est un groupe de membres de l’équipe de foot, donc en toute logique, on doit pouvoir trouver un membre de l’équipe, que l’on appelera y a qui on associe D par la bijection, c’est à dire tel que b(y)=D. Or :

        • Soit y est dans D, alors y n’appartient pas à b(y)=D donc il n’appartient pas à D.
        • Soit y n’est pas dans D, alors par définition y appartient à b(y)=D, donc il appartient à D!

D’où la contradiction! Très proche d’un paradoxe présenté par Russel, cette démonstration n’est pas des plus simples à accepter.

Le résultat du théorème de Cantor donne donc une méthode pour construire à partir d’un ensemble E un ensemble strictement plus grand P(E) et prouve donc qu’il existe une infinité d”infinis!

Ces démonstrations sur les infinis vont à l’encontre de l’intuition, mais sont parfaitement logiques. Les mathématiciens de l’époque ont été très perturbés et certains ont même cherché à bannir l’infini des mathématiques, mais la démonstration était là et était rigoureuse. Cantor lui-même, venant de démontrer un résultat similaire envoie un courrier célèbre à Dedekind, un de ses collègues avec qui il partageait ses résultats :

Tant que vous ne m’aurez pas approuvé, je ne puis que dire : je le vois, mais je ne le crois pas.

en d’autres termes, sa démonstration a prouvé le résultat, mais son esprit ne l’accepte pas encore.

Le problème irrésolu de Cantor

Après avoir montré que l’infini des réels était plus grand que l’infini des entiers, Cantor s’est demandé s’il existait des espaces entre ces deux infinis : avec strictement plus d’éléments que l’ensemble des entiers, mais moins que l’ensemble des réels. Il était convaincu qu’il n’existait aucun espace entre les entiers et les réels, cette hypothèse s’appelle “l’hypothèse du continu”. La démonstration de cette hypothèse l’occupa jusqu’à la fin de sa vie et ce n’est que 20 années après sa mort que tomba le résultat, l’hypothèse du continu est “indécidable”.

Une proposition indécidable (ou indépendante) est une proposition dont on ne peut ni montrer qu’elle est vraie ni montrer qu’elle est fausse. L’exemple le plus célèbre de proposition indécidable est l’axiome des parallèles d’Euclide :

Par un point extérieur à une droite, on ne peut tracer qu’une seule droite parallèle

Dans son livre “Les Elements”, Euclide pose les bases de sa géométrie, les axiomes. Les axiomes sont des hypothèses admises du type “tous les angles droits sont égaux” ou encore “entre deux points on peut toujours tracer un segment”. Le 12e axiome d’Euclide, énoncé ci-dessus, paraît beaucoup plus complexe que les autres. Beaucoup de mathématiciens se sont donc demandé si on ne pouvait pas le démontrer grâce aux onze autres. Il a été montré qu’il était indécidable et on peut l’illustrer en présentant un exemple où cet axiome est faux (alors que les 11 autres restent vrais).

Sur une sphère (la terre par exemple), les “droites” sont les cercles qui ont pour diamètre le diamètre de la sphère. Sur le dessin ci dessous (trouvé sur Wikipedia) par exemple M et D sont deux “droites”

Deux droites parallèles sont définies par Euclide comme deux droites qui ne s’interserctent jamais. Sur la sphère pour un point extérieur à une droite il n’existe aucune droite parallèle. Toutes les droites étant des grands cercles (du diamètre de la sphère), elles s’intersectent nécessairement en au moins deux points. Cantor avait passé la fin de sa vie à essayer de démontrer une proposition qu’on ne pouvait démontrer.

Pour en savoir plus :
- CANTOR de Jean-Pierre Belna : Livre dont je me suis beaucoup servi, mais dont je déconseille la lecture à quelqu’un qui n’a pas l’habitude de lire des mathématiques, il n’est pas très pédagogique.
- Gödel Escher et Bach de hofstadter : Un livre immense, mais passionnant et accessible pour tout le monde. Il contient un petit passage sur la diagonale de Cantor
- “The Infinite Book” ou “Une brève histoire de l’infini” de Barrow : en anglais, mais très accessible et très intéressant si le sujet de l’infini vous intéresse.
- Gödel de Pierre Cassou-Noguès : c’est dans ce livre où j’ai trouvé l’idée d’utiliser la bibliothèque de Babel pour montrer que l’infini continu et dénombrable n’avaient pas la même taille.
- Six Books of Euclid de Byrne aux éditions Taschen : Le livre d’Euclide où il définit les éléments et présente les axiomes nécessaires à sa géométrie. La particularité de cette édition est d’avoir remplacé toutes les variables par des couleurs. Ceci simplifie la lecture et en fait un très bel objet.
- La villa des hommes de Denis Guedj : Je ne l’ai pas encore lu, mais il m’a été conseillé. C’est une fiction très largement inspirée de la vie de Cantor.

Un merci à Robin pour les discussions que nous avons eu sur ce sujet!

Et pour accéder directement aux livres cités sur Amazon, c’est ici :


VN:F [1.9.22_1171]
Rating: 4.9/5 (17 votes cast)
L’infini… Quand il n’y en a plus, il y a Cantor!, 4.9 out of 5 based on 17 ratings
Tagged with:  
  • Pingback: Podcast Science 74 – L’infini : quand il n’y en a plus, il y a Cantor()

  • Pingback: Bref, j’ai essayé d’expliquer une blague de math… pour Podcast Science «()

  • Pingback: Nicolas Tupégabet n'est pas sur l'Internet » PodcastScience 74 – L’infini, quand il n’y en a plus, il y a Cantor!()

  • http://www.mfavez.com Mathieu

    Magnifique dossier, bravo Nico…quant à savoir si l’infini est un simple concept de l’esprit ou plutôt une réalité matérielle, heureusement la question n’est pas nouvelle…Platon déjà se posait ce genre de question:

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Platonisme_math%C3%A9matique

    Perso, ça me cause aucun problème d’imaginer un réalité physique infinie, d’ailleurs le temps (qui intègre la notion d’infini sous plusieurs aspects) rythme notre quotidien et continue de rythmer le quotidien des autres après notre mort…mais c’est une vaste question qui je crains sera “infiniment” difficile de répondre…

  • http://nicotupe.fr/ Nicotupe

    Content que ça t’ai plu! Je ne connaissais pas cette page sur le réalisme mathématique :)
    J’avoue que j’ai du mal à répondre à ces questions de “lien à la réalité” car je trouve que ce théories se suffisent à elles mêmes mais ton exemple de temps est de loin l’exemple d’infini qui me convainc le plus.

  • Tom²

    Le carré n’existe pas. C’est un axiome.

  • Jorj X. McKie

    Bientôt les résultats d’une grande expérience française, pour savoir s’il existe un nain fini.

  • http://nicotupe.fr/ Nicotupe

    Ce commentaire est magique, merci!

    Pour Tom, si ce n’est pas une blague, je veux bien des précisions et si c’est une blague, désolé :p

  • http://alan.vonlanthen.org Alan

    @Jorj, mort de rire :)

  • http://nicotupe.fr/ Nicotupe

    J’ai corrigé une petite coquille dans le passage de la bibliothèque de babel. On représente chaque livre comme une phrase infinie et on cherche si l’on peut construire une nouvelle phrase (un nouveau livre) qui n’est pas dans la bibliothèque.

    Mais rien n’assure (et ce n’est pas le but) que la phrase construite ne soit pas contenue dans un des livres à partir d’une certaine lettre.

    Merci Pierre (qui m’a signalé la coquille)!

  • Guillaume Bonnot

    Pour commencer, je voudrais féliciter notre ami Nicotupe pour son excellent dossier… Et pour un premier dossier, quel dossier !

    Ayant déjà vu la théorie des ensembles et la combinatoire à la fac, je n’ai pas eu besoin d’aspirine, bien au contraire, mon esprit s’est échauffé grâce à ce nouveau point de vue. A force de retourner toutes ces question dans ma tête, le pire est arrivé, l’irrésistible envie de partager ma réflexion avec vous, fidèles poditeurs. J’avais déjà failli craquer pour l’épisode sur le chat de Schrödinger, mais je n’avais pas eu le temps à cause de mes nombreuses idées de projets. Cette fois c’est la bonne, je me lance !

    Je vais commencer avec la question qui fait tant débat : “Est ce que l’infini existe réellement/matériellement/physiquement ?”. Rien que la formulation montre que c’est compliqué, et que notre langage n’est pas forcément fait pour manipuler ces concepts, mais aussi qu’il est fort probable que notre cerveau ne soit pas ni ne puisse être câblé pour ceux ci. Personnellement je ne saurais pas répondre à cette question, mais un sentiment persiste… Le rapport entre l’infini et la réalité ressemble étrangement au rapport état quantique et état physique. Je m’explique, en physique quantique un objet peut avoir plusieurs états quantiques superposés et pourtant quand on les observes, ils ne peuvent avoir qu’un seul état. Il existerait donc un état théorique et un état pratique. On pourrait penser qu’il existe une manière pour l’objet de passer de l’état théorique à l’état pratique, et vice versa. Pourtant il semblerait que c’est impossible, et c’est ce que je crois. Il existerait donc un objet conceptuel (modèle mathématique ?) qui serait chargé de nous fournir l’objet physique.

    Avant d’aller plus loin, revenons à l’autre problème évoqué dans ce podcast, et qui à été le vrai déclencheur de ma réflexion. On pourrait même aller plus loin et faire une analogie* avec ma théorie ci dessus, et dire que le concept infini/réalité aurait pour réalité (aurait donc engendré) le paradoxe suivant :

    Le nombre 0.3 (avec une infinité de 3 après la virgule) que l’on va appeler gamma γ ( 3eme lettre alphabet).
    On a donc 3*γ = 0.9 (avec une infinité de 9 après la virgule) que l’on va appeler GAMMA Γ

    Maintenant prenons le cas de 1/3.
    La valeur numérique de 1/3 est le nombre 0.3 (avec une infinité de 3 après la virgule).
    On en déduit que 1/3 = γ.
    On sait que 1/3 * 3 = 1
    Donc 1/3 * y = 1
    Donc Γ = 1 => ABSURDE

    Je tiens à préciser, que pour moi, Γ ne sera jamais égale à 1. Je vais commencer par vous montrer la faille du raisonnement précédent :

    La valeur numérique de 1/3 est le nombre 0.3 (avec une infinité de 3 après la virgule). faux

    C’est le moment crucial où l’on passe de l’objet conceptuel à l’objet physique; les deux objets ne font pas partie du même monde. Ma formulation est naïve mais elle est facile à expliquer :

    On est dans une espace multidimensionnel.
    On aurait donc γ qui serait dans le plan des valeurs numérique avec pour valeur γ (lui même donc vu que cette propriété le défini).
    On aurait 1/3 qui serait dans un autre plan. Ce point a la propriété suivante : Quand on le multiplie par 3, on obtient 1.

    Pour comparer γ et 1/3, on doit les mettre sur le même plan. On fait donc la projection de 1/3 sur le plan numérique, et on obtient γ. Le résultat 1/3 = γ est faux, c’est la projection de 1/3 sur le plan numérique qui est égale à γ.

    Maintenant appliquons à nos 2 points le vecteur qui à la propriété : multiplie par trois.

    La nouvelle valeur numérique de γ sera Γ grâce aux propriétés du plan numérique.
    Pourtant la projection sur le plan numérique de 1/3 (une fois le vecteur *3 appliqué) sera de 1 encore une fois grâce aux propriétés intrinsèques du plan de 1/3.

    On retrouve bien 3*γ = Γ et 3*1/3 = 1.

    Moralité, on mélange pas les torchons et les serviettes !

    Pour conclure et en revenir à notre histoire d’infini, je dirais que le fait que l’infini n’existe pas concrètement dans notre plan (espace/temps) prouverait que l’infini existe concrètement dans un autre plan. Nous vivrions dans une sorte de projection de l’infini.

    Mais, le fait que l’on puisse penser l’infini dans un plan fini, voudrais dire que l’on peut créer de l’infini à partir de fini. Et que donc l’infini existe à partir du moment où le fini existe.

    Bref, on tourne en rond et on est pas plus avancé…

    Bonne continuation !

    *manquant de recule par rapport à la pertinence de cette analogie, je ne m’en porterais pas garant.

  • http://nicotupe.fr/ Nicotupe

    Bonjour Guillaume et content que le dossier t’ai plu.

    Je ne reviendrai pas sur ton lien entre le problème de l’infini “réel” et la mécanique quantique ou plus précisément la notion de mesure car je n’en ai pas les compétences et je pense que c’est un avis intéressant comme il peut y en avoir d’autres.

    Par contre dans ta référence à l’analogie 0.9999…=1, tu fais plusieurs erreurs de définition et une erreur de raisonnement que je vais tâcher d’expliquer ici. Si tu veux voir plusieurs démonstrations correctes de ce résultat (oui oui, il est bien indiscutable pour le coup), je t’invite à visiter les pages suivantes :
    - http://www.quora.com/Why-is-every-finite-decimal-equal-to-an-infinite-decimal-in-which-the-9-digit-repeats/answer/Nicolas-Tupecabet (en anglais)
    - http://sciencetonnante.wordpress.com/2012/02/20/0-999999-le-nombre-qui-nexiste-pas-vraiment/ (en français, c’est celui qu’on a cité pendant l’émission)
    Pour en dire deux mots, pour avoir une définition correcte des nombres réels (grossièrement les nombres ayant une infinité de décimales), il est nécessaires de considérer que les nombres avec une infinité de 9 à partir d’une certaine décimale sont égaux à ceux, correspondant, avec une infinité de 0 à partir d’une certaine décimale.

    D’abord, dans ton raisonnement, tu utilises un certain nombre de définitions implicite qui dans ce cas bien particulier nécessiteraient d’être précisées :
    - “valeur numérique” : dans le premier résultat (qui même s’il amène à une conclusion absurde, doit avoir des termes et propositions bien définies) tu annonce que la valeur numérique de 1/3 et le nombre 0.333… (avec une infinité de décimales), je vais l’appeler γ comme toi. En l’occurence, ce que tu appelle “valeur numérique” est l’écriture en base décimale et l’une des façon “propre” de le définir est la somme infinie :

    3×1/10+3×1/100+…

    (à ce stade rien ne prouve d’une part que cette somme converge ni qu’elle tend vers 1/3, ces résultats sont prouvés dans les deux liens que je t’ai donné au début. Il est aussi important de noter que les premières personnes à avoir écrit 0,333… ou 0,999… ne parlaient absolument pas en terme de série infinie, comme dans ton commentaire ils utilisaient une définition implicite induisant des erreurs.) Cette définition concrète de l’écriture 0,3333… permet maintenant de le comparer aux autres nombres.
    - “plan”, “projection” : dans la suite de ton raisonnement tu utilises ces mots un peu comme des métaphores pour étayer ton raisonnement. Or, tu suppose par la suite (c’est une hypothèse donc tu as tout à fait le droit) que γ et 1/3 ne sont pas sur le même plan. Cette hypothèse n’a pas de sens car tu n’en a pas bien défini le terme plan (qui en l’occurence ne peut en aucun cas correspondre au plan classiquement défini en mathématique).
    Par la suite, tu parles de projection de 1/3 sur le plan numérique. Encore une fois, étant donné que “plan” n’est pas défini et ne correspond pas au sens classique, la projection sur ce “plan” n’est pas définie. Tes hypothèse de départ, si elles sont philosophiquement intéressante, n’ont donc pas de sens mathématique.

    Au dela de ces problèmes de définition, tu fais une erreur de raisonnement sur le mot absurde : au début, tu arrives à la conclusion “Γ = 1″ et conclue qu’elle est absurde. Je peux comprendre (et ça me le faisait aussi il n’y a pas très longtemps) que ce résultat te perturbe mais il n’est en aucun cas absurde vis à vis de tes hypothèses de départ. Au mieux, il est absurde vis à vis de l’hypothèse “Γ =/= 1″ et l’aburdité de ce résultat conduit justement à “Γ = 1″ (négation de l’hypothèse “Γ =/= 1″).

    Pour conclure, ton commentaire reste intéressant (et merci de l’avoir posté) car au dela du résultat faux, il traduit le problème d’acceptation que l’on a tous un jour où l’autre avec l’infini. Et même si l’on est honnête, on l’a tous encore un peu mais pour ma part, ces raisonnement logiques suffisent à me convaincre de la validité du résultat, après c’est un travail de l’esprit pour le faire rentrer dans la case “bon sens”! Comme dirait une citation de Neumann :

    “In mathematics you don’t understand things. You just get used to them.”
    (En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s’y habitue)

    En espérant que cette réponse a un peu soulagé ces inquiétudes, bonne soirée!

  • http://alan.vonlanthen.org Alan

    Salut tout le monde!
    Guillaume, comme Nico, je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire par plans. Mais j’intuite (le verbe est de moi, à l’instant, il me plaît :) ) que j’ai un peu le même problème que toi. Et qu’on doit être plusieurs dans ces cas. J’ai vaguement tenté de le soulever pendant la présentation de Nico, avec toute l’éloquence dont je suis capable quand mon cerveau fume: j’avais de la peine avec l’idée qu’on puisse attribuer un numéro à chaque chambre dans l’hôtel infini. Car dans ma compréhension, numéroter les chambres relève du dénombrable: on peut toujours incrémenter le compteur en passant à la chambre suivante. Mais l’infinité de chambres, en revanche, relève de l’indénombrable. Du coup, ça me tarabuste grave… Où se trouve le seuil entre dénombrable et indénombrable? Et c’est là que mon pauvre cerveau part en vrille (en informatique, on dirait, dans une boucle infinie, sic!). Bref, je me heurte à un autre seuil, bien palpable celui-là: celui de mes limitations cognitives. Sans doute à peu près la même que pour beaucoup de mes congénères humains…
    Après tout, la sélection naturelle nous a préparés à chasser le mammouth, à éviter les tigres à dents de sabre, pas à nous prendre la tête sur le principe d’incertitude ou la notion d’infini.
    C’est un peu comme si on demandait à un ordinateur d’avoir des états d’âmes… Il n’est juste pas câblé pour. Son truc, c’est d’additionner des 1 et des 0. Le nôtre, de bouffer et de nourrir nos petits sans nous faire bouffer. Je m’émerveille chaque jour à quel point nous avons dépassé notre condition. Franchement, c’est déjà pas mal ;)
    En tout cas, merci d’avoir pris le temps de rédiger ton commentaire, ça fait toujours plaisir :)
    A bientôt!
    ++
    a.

  • Pingback: Sur la Pi-ste d’une constante mathématique()

  • Pingback: Nicolas Tupégabet n'est pas sur l'Internet » PodcastScience 77 – Pi()

  • Pingback: Nicolas Tupégabet n'est pas sur l'Internet » PodcastScience 82 – Algorithmes ou l’histoire de la recette de cuisine()

  • Pingback: Aux origines de zéro()

  • Pingback: Podcastscience 104 – Aux origines du zéro | Nicolas Tupégabet n'est pas sur l'Internet()

  • sabrje

    opalka gnam style !!!!!

  • Pingback: Fourier…. Transformation!()

  • Pingback: PodcastScience 116 : La transformée de Fourier | Nicolas Tupégabet n'est pas sur l'Internet()

  • Pingback: Podcast science 101 – La science des introvertis()

  • Pingback: Les courbes remplissantes (ou comment faire un coloriage avec un crayon ponctuel) | Science étonnante()

  • Pingback: L'histoire de la recette de cuisine()

  • Pingback: Un échantillon de théorie d’information : le théorème de Shannon-Nyquist.()

  • Pingback: 145 -L’infiniment petit()

  • Pingback: Podcast science 144 – Hack your PhD()

  • xanoia

    bonjour, j’aimerais savoir dans quel interval il y a le plus de nombre réel? [1,3] ou [1,100] ? explication avec la bijection Svp

  • nicotupe

    Bonjour,

    Alors si tu parles bien des intervales continus, il y a autant de nombre réels. Une bihection est par exemple celle qui transforme un nombre x de [1,3] en le nombre x*100/3.

    On a alors 1 qui deviens 1
    On a alors 3 qui deviens 100

    On a alors 1.2 qui deviens 40

    Et comme ça tous les nombres de [1,3] ont une et une seule image dans [1,100], il y a autant de nombre (aussi étrange que cela paraisse :p)!

    Joyeuses fêtes.

  • xanoia

    Merci infiniment

  • roxanne

    je ne comprends pas trop

  • Éliza

    mais en d’autres mots, quelle a été la plus grande contribution de Cantor part rapport à la notion d’infini

  • Bianco

    Je viens de lire :
    “L’infini dit “continu” est celui de l’ensemble de toutes les phrases que l’on peut former ou encore celui de l’ensemble des nombres décimaux entre 0 et 1.”.
    Pourtant, D, l’ensemble des décimaux, est un sous-ensemble de Q (on peut le démontrer de façon évidente), et Q est dénombrable !
    Il y a donc une erreur à mon avis.
    Cordialement.

  • nicotupe

    Bonjour,

    je parle de l’ensemble des déimaux avec une infinité de décimales (ou encore les réels). Avec une infinité de décimales, ce n’est plus un sous ensemble de Q (pi est dedans)… Bref c’est un peu mal formulé je l’admet mais c’est bien un infni différent de l’infini indénombrable.
    Merci pour cette remarque

  • Pingback: Hilbert()