infini

Aux origines de zéro

On 21.10.2012, in Dossiers, by Nicotupe

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Dans ce dossier, nous allons raconter la longue histoire de la découverte d’un nombre. Un simple nombre qui pourtant a tout changé et permet aujourd’hui l’existence des plus grandes théories (mle grand saut desais ça, nous le verrons la semaine prochaine). Eh oui, après vous avoir parlé de l’infini, de pi, aujourd’hui on s’attaque au zéro!

La vie sans rien

Mais avant de parler du zéro lui même, nous allons un peu parler du temps où l’on vivait sans cet étrange nombre. On a peu de traces avant l’apparition de l’écriture, pour autant, on peut avoir des indices sur l’existence sans le nul en observant notre vie contemporaine. On se rend alors vite compte que l’on n’a pas vraiment besoin de lui dans notre vie de tous les jours : personne n’a besoin d’aller acheter zéro baguettes, d’inviter zéro amis à une soirée ou de passer zéro secondes sur un travail (surtout ce dernier point, qui est un sous-entendu universel de l’humanité procrastinatrice). Ou plus précisément, on peut en avoir le besoin mais alors on a pas besoin de l’exprimer : je ne vais pas lister tous les produits dont j’ai besoin sur une liste en mettant un zéro dessus!

En fait, à l’aube des temps humains, les gens faisaient apparement seulement la distinction entre un et beaucoup. On était capable de dire s’il y avait un arbre. Et s’il y en avait plus, il y en avait tout de suite beaucoup. Remarquons que cela aussi est peu différent aujourd’hui, du moins sans compter, tant qu’il y a 4–5 objets, on est capable de tout de suite dire leur nombre et ensuite il y en a “beaucoup” (faites le test chez vous, ça marche!).

Les hommes réussissaient quand même à différentier les groupes, en utilisant la bijection! Comme on l’a vu dans le dossier sur l’infini, en plaçant sur le sol un caillou à chaque objet que l’on voit, on peut savoir qu’il y a plus d’éléments dans un groupe qu’un autre sans compter. Mais pour y arriver sans bijection et de manière absolue, il faut savoir compter… Et donc les hommes se sont mis à compter justement. Et comme il ne savaient pas forcément encore écrire, ils utilisaient ce qu’ils avaient de plus facilement disponible : les parties de leur corps! L’évolution, la selection génétique et beaucoup de hasard nous ont amenés à avoir 5 doigts sur chaque main et pied. On pouvait alors facilement compter jusqu’à 5 et quand il fallait plus, on donne un nom au 5 et on pouvait recommencer à 1, histoire de pouvoir continuer à compter avec les parties de son corps :

1,2,3,4,5,5 et 1,5 et 2, 5 et 3, etc.

Et il suffisait d’avoir un nouveau mot pour 10, 15, 20, 25, etc. pour pouvoir compter autant qu’on voulait.

C’est ce qu’on appelle compter en base 5! Et hasard de l’anatomie, 5 est justement la base préférée des hommes quelle que soit la culture. Il y avait d’autres bases aussi, le plus souvent liées à une partie de notre corps : 5, 10 (deux mains), 20 (mains et pieds) et… 60 qu’utilisaient les Babyloniens!

Remarquez que ces systèmes de numérotations ressemblent beaucoup au système romain (même s’il est postérieur), que l’on connait tous.

Avec ces systèmes, les gens pouvaient compter. Pour autant, ces systèmes n’avaient pas de zéro; ce concept n’existait tout simplement pas! Pour dire qu’on a zéro baguette, il suffit de dire “nous n’avons pas de baguettes”, aucun besoin de créer un nombre pour exprimer le manque de quelque chose! Les gens vécurent longtemps sans zéro car ils n’en avaient pas besoin. Et dans les esprits de cette époque, il aurait été bien saugrenu de créer un symbole pour représenter ce rien.

Un rien facilite le comptage

Les Grecs, les Egyptiens et la plupart des peuples anciens avaient des systèmes plus ou moins sophistiqués mais tous basés sur cette même idée. Le peuple qui a vraiment révolutionné la numérotation (tout comme il révolutionna bien d’autres choses) sont les Babyloniens.

Les Babyloniens représentaient les chiffres comme s’ils dessinaient symboliquement un abaque. Chaque groupe de symboles représentait le nombre de pierre qu’on avait déplacé sur l’abaque. La véritable nouveauté de ce système est que, comme le nôtre, il fonctionnait par colonnes. L’unité babylonienne ressemble à un Y ou à un clou. Quand un Babylonien écrivait YYY, le premier symbole représentait les “centaines”, le second les “dizaines” et le troisième les “unités”. Si je met ici des guillemets c’est que les Babyloniens ne comptaient pas comme nous, mais en base 60. Ainsi, le premier Y représentait en fait 3600, le second 60 et le troisième 1. Comme nous écrivons 123 pour dire en fait 1×100+2×10+3, les Babyloniens écrivaient YYY pour dire 1×3600+1×60+1.

Reste qu’aussi ingénieux soit-il, ce système présentait un problème de taille. Le nombre YY pouvait aussi bien vouloir dire 3601 que 3660 ou encore 61. En effet, si l’un des chiffres de la décomposition dans la base ne présentait pas d’éléments, les Babyloniens se contentaient de laisser un espace. Il était alors très difficile de différencier les chiffres avec précision. A la recherche d’une solution pour palier ce problème, les Babyloniens ont inventé le zéro! A cette époque, il n’est pas encore un nombre, il se contente seulement d’être la représentation d’un espace, un rien mais qui permet déjà de lever toute ambiguité sur le système de numérotation. C’est autour de 300 avjc que les Babyloniens ont commencé à utilisé cet espèce de Y penché pour le zéro.

Reste que ce zéro là n’était pas un nombre, c’était juste un espace dans le système de numérotation, une ponctuation des mathématiques, en somme. Les Babyloniens auraient par exemple été bien incapable de le classer parmi les autres nombres et l’auraient peut être amené à la droite du 9 comme sur nos claviers, les malheureux! Les Babyloniens n’étaient pas les seuls à utiliser un système de numérotation où les chiffres étaient sur des colones, les Mayas aussi. Et eux choisirent justement de commencer à compter à partir de zéro. Reste qu’à cette époque, zéro n’est pas encore réellement un nombre ou du moins on n’a pas retrouvé d’utilisation mathématique.

Le vertige des Grecs

Les grecs détestaient le zéro. Ils avaient pourtant connaissance du système babylonien qu’ils utilisaient entre autres pour leur calculs astronomiques mais se dépêchaient de le reconvertir dans leur système pur, sans ce nombre vide. Il est à noter que les grecs écrivaient le zéro “o” pour omikron, dont la ressemblance avec notre zéro actuel est un pur hasard, on va rapidement voir pourquoi.

Une des premières raisons de cette détestation de ce simple nombre est que selon les croyance grecques, avant la création, il y avait le vide et le chaos ; zéro leur était alors inexorablement associé.

Mais ce n’était pas la seule raison de ce rejet, loin de là! Le zéro était en contradiction ou pire, paradoxal, pour la plupart des croyances grecques. Par exemple zéro additionné à lui même reste le même nombre nul. Ce qui contredit directement le principe d’Archimède qui dit qu’en ajoutant n’importe quel nombre à lui-même suffisament de fois, on dépasse tout nombre. De plus, les grecs avaient une vision géométrique des nombres; n’importe quel nombre était associé à un segment, une multiplication revenait alors à dilater le segment et une division à le contracter. Mais à quoi correspondrait une multiplication par zéro? Et à quel type de segment correspondrait ce nombre étrange? Comme n’importe quel nombre multiplié par zéro donne justement zéro, le segment est cassé de manière irréversible, zéro est une brute qui casse tout ce qu’il touche, les grecs n’en veulent pas!

De nous jours, la définition de zéro est justement qu’additionné à n’importe quel nombre, il laisse le nombre inchangé. En revanche, le fait que sa multiplication par n’importe quel nombre donne zéro se démontre! L’ensemble des nombres entiers relatifs (qui n’existe pas encore certes, mais c’est ici une apparté!) ou plus simplement nommé ensemble de tous les nombres entiers positifs est ce que l’on appelle en mathématiques un groupe pour l’addition. C’est à dire qu’il respecte les 4 règles suivantes :

Si l’on prend deux nombres quelconques de ce groupe, leur somme appartient aussi au groupe. Par exemple 2 et 5 sont des entiers relatifs et leur somme 7 aussi.
L’addition respecte l’associativité. C’est à dire qu’on peut changer la place des parenthèses : 2+(3+4)=(2+3)+4
Le groupe possède un élément neutre, c’est à dire un élément ‘e’ tel que pour n’importe quel nombre ‘a’, a+e=e+a=a. C’est justement cet élément neutre que l’on appelle zéro pour l’addition.
Chaque élément possède un inverse. C’est à dire que pour chaque nombre ‘a’, il existe un nombre ‘b’ tel que a+b=e, l’élément neutre. Par exemple, pour 5, il existe -5 tel que 5+(-5)=0!

Lorsque l’on a ces 4 règles très simple, on peut faire la plupart des opérations que vous utilisez quotidiennement. Mais bien sûr on n’utilise pas que l’addition, il existe aussi la multiplication. Dans ce cas, ça se complique un peu car tous les entiers n’ont pas un inverse entier, par exemple si 2 est bien entier, son inverse 1/2 ne l’est pas. Du coup, pour avoir un groupe avec la multiplication, il faut prendre un groupe plus grand, par exemple les rationnels. Pour rappel, l’ensemble des rationnels, c’est l’ensemble des fractions, c’est à dire les nombres qui sont le quotient de deux entiers : 2/3, 6/7, etc. L’ensemble des rationnels privés de zéro (on va y revenir tout de suite) est justement un groupe pour la multiplication. Vous pouvez vérifier, les quatre règles sont respectées!

Alors si l’on résume, l’ensemble des rationnels est un groupe pour l’addition et est un groupe pour la multiplication si on le prive de zéro. Mais comme on veut toujours plus, on va vouloir un ensemble ou l’on peut utiliser les deux opérations en même temps. C’est grosso-modo ce que l’on appelle un anneau. Dans un anneau, il y a donc deux neutres, un pour l’addition (zéro) et un pour la multiplication (un). le Un était déjà dans le groupe pour l’addition, donc on sait faire des additions avec. En revanche, le zéro n’étant pas dans le groupe de la multiplication, on ne sait pas comment il réagit lorsqu’il est multiplié, il est nécessaire de le démontrer!

Prenons par exemple 4 (ça marche bien sur avec tous les nombres), En utilisant la factorisation et la propriété du neutre pour l’addition, on peut écrire :

0×4+0×4=4x(0+0)=4×0

En simplifiant par 4×0, on obtient 4×0=0. Le zéro transforme par la multiplication n’importe quel nombre en lui-même!

[Dessin - Les mathématiciens savent démontrer que 0x0=0)

Revenons à nos grecs anciens. Le zéro transformait donc le nombre-segment grec en un point, on détruisait le segment, ce qui était impensable dans la pensée grecque et surtout enlevait toute possibilité d’inversion du phénomène… Mais justement, que se passait-il si on divisait par zéro?

Tout le monde le sait depuis la petite école, comme il est interdit de prononcer le nom de “vous savez qui”, il est INTERDIT DE DIVISER PAR ZERO. C’est un phénomène assez amusant et aussi l’objet d’un mème! En fait il n’est pas exactement interdit de diviser par zéro, c’est juste que si vous vous l’autorisez ne serait-ce qu’une seule fois, vous pouvez démontrer tout et n’importe quoi. Par exemple, nous allons démontrer avec une division par zéro un bien joli résultat.

On sant que pi x 0 = 42 x 0 car tout nombre multiplié à zéro fait zéro. Une division par zéro plus tard on a alors

pi=42.

Jusque ici rien de très étonnant, on savait depuis longtemps que 42 était la réponse à tout ce qui existe mais comme on a pu le voir dans le dossier sur le théorème de Gödel ou celui sur l’infini, s’autoriser une contradiction (bah oui parce que pi n’est pas égal à 42) amène à une théorie contradictoire où tout résultat et son contraire est vrai. Alors certes on peut s’amuser à diviser par zéro mais alors, plus rien n’a de sens!

Le rejet du zéro par les grecs était avant tout philosophique, il représentait une réelle plaie pour la pensée de l’époque, un peu comme le furent les irrationnels. Remarquons que l’infini avait déjà pas mal agacé les grecs entre autrse avec le paradoxe de Zénon. En fait, zéro et infini sont intimement liés, comme nous le verrons plus en détail la semaine prochaine.

Mais celui qui a de loin le plus empêché le zéro d’arriver pleinement chez les Grecs à cette époque-là et plus tard en Europe est Aristote. En effet, sa pensée a influencé l’Europe pendant les siècles suivants et il était le plus fervent opposant au nombre étrange. Cette opposition d'Aristote a laissé aujourd'hui quelques restes comme l'expression "la nature a horreur du vide".

Des particules élémentaires oui mais sûrement pas du vide

A l’époque, la théorie des atomes commençait à naître. Or les atomes impliquent d’avoir du vide, en effet, entre ces atomes il y a beaucoup de vide… et dans l’univers, la théorie atomiste imposait un vide infini. Pour exemple, si l’on retire le vide de tous les atomes de l’empire state building, on obtient quelque chose pas plus grand que la taille d’un grain de riz.

Aristote refusait de croire au vide, il acceptait l’idée de particules élémentaires mais rejettait la notion d’atomes et considérait que toute la matière était constituée des 4 éléments : Eau, Feu, Air et Terre. Et il considérait la matière comme continue, ne s’interrompant jamais. Il est assez ironique de remarquer que les théories modernes de cosmologie reviennent sur cette notion de vide absolu en donnant non seulement une courbure à ce vide (avec la relativité générale) ou encore en postulant que le champ de Higgs est partout et interagit sur les particules.

Reste que pour palier ce problème avec le vide et surtout avec l’infini, les philosophes de l’époque complétèrent la théorie atomiste d’une manière particulièrement poétique. Ils postulèrent que l’univers était en fait dans une gigantesque sphère, où, bien sûr, la Terre était au centre. Cette sphère englobante était un globe bleu, incrusté de petits points brillants : les étoiles. L’univers devenait fini et Aristote déclarait que les mathématiciens n’avaient pas besoin d’infini, ni de l’utiliser. Or pour rejeter l’infini, il faut rejeter le vide, les deux sont intimement liés. En effet, a partir du moment où l’on accepte l’existence du vide, comme zéro ajouté à lui même reste zéro, il y a aussi une infinité de vide!

Pour l’anecdote, Archimède calcula qu’il fallait 10⁵¹ grains de sable pour remplir la sphère de l’univers. Ce nombre était tellement grand que le système de numérotation grec ne pouvait pas l’écrire!

Ce système a perduré pendant de nombreux sciècles pour une raison très simple: il prouvait de manière irréfutable l’existence de Dieu. La grosse sphère incrustée de points lumineux qui englobait l’univers tournait et il fallait bien une force extérieure pour la faire tourner, cela ne pouvait être que Dieu!

1400 ans sans entendre parler de rien et le bug de l’an 2000

Une fois qu’Aristote eut fait son oeuvre, impossible pour le zéro d’entrer en Grèce. Et avec l’invasion des Romains, le neutre fut rayé d’Europe pendant plus de 1400 ans… Les 7 sciècles d’ère romaine n’ont pas spécialement marqué l’histoire mathématique, l’auteur de “Zero, Biography of a Dangerous Idea”, qui a servi de base à ce dossier résume cela en disant que le meurtre d’Archimède fut sans doute la contribution la plus notable des Romains à cette science!

Pour s’en convaincre plus encore, il suffit de regarder leur système de numérotation que l’on utilise tous encore parfois; il est bien loin de l’innovation Babylonienne. Pendant les 7 sciècles qui suivirent les romains, le zéro ne montra pas non plus son nez, ce qui laissa tout le temps aux moines de faire n’importe quoi…

Les moines à cette époque n’avaient besoin des maths que pour deux activités : la prière et l’argent. Pour organiser les prières, il était nécessaire de créer un calendrier et c’est exactement ce à quoi s’attela Dyonysius Exiguus sur les ordres du pape Jean 1er. En traduisant des tables provenant de l’Est du continent, il découvrit qu’il pourrait calculer la date de naissance de Jésus Christ. En faisant rapidement quelques calculs, il décida que l’année courante était la 525e année depuis la naissance du Christ (soit dit en passant, il s’était en fait trompé de 4 ans…).Et en toute logique, il choisit l’année 1 pour la naissance du Christ. Remarquez que l’on refuse aussi de dire qu’un bébé a zéro ans. Pendant sa première année, on commence à compter en jours, puis en semaines, puis en mois, puis enfin en années en banissant la phrase toute simple “il est beau hein, il a zéro ans”. Il est quand même balo que pour mettre le Christ au centre de leur calendrier, les moines ont tout simplement oublié son année de naissance.

Le zéro ayant été bani par Aristote, les années s’organisaient donc sans lui

… –2 –1 1 2 …

Cette simple décision nous fait encore aujourd’hui faire des erreurs. Par exemple, 6 milliards de personnes (ce n’esst pas rien) ont fêté le nouveau millénaire un an trop tôt, sans année zéro, celui-ci commence en 2001!

[Dessin d'un mec tout seul dans son lit pendant que les mec font la fete à la fenetre "Les cons!"]

Mais pire encore, comme on l’a vu au-dessus, sans zéro, pas de neutre et donc pas de groupe au sens mathématique; on n’a plus le droit aux soustraction sans erreurs… Grâce à ce zéro, on peut inverser l’opération d’addition et simplifier les équations, c’est ce qui nous permet d’écrire que

x+5=3

est équivalent à

x=5–3=2

Sans ce neutre, on ne peut plus faire tout ça! Reprenez la ligne des nombres sans zéro de tout à l’heure :

… –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 …

5, à qui l’on soustrait cinq unités donne –1 : 5–5=1. Mais pire encore, 5+(–5)=1. L’addition n’est même plus commutative! Sans cette simple année zéro, on ne peut pas soustraire des dates, et on ne peut pas additionner indifféremment des dates positives avec des dates négatives ou des dates négatives avec des dates positives! C’est exactement ce type d’erreur que fit le Washington Post en annonçant fièrement que comme le Christ était né en –4, le nouveau millénaire devait être fêté en 1996!

A titre de remarque, cette notion de neutre est indispensable pour pouvoir inverser une opération. Dans le cas de la multiplication, c’est le 1 qui joue ce rôle de neutre.

Quant au fait de compter les années à partir de la naissance de Jesus Christ plutot qu’un autre, sachez que les astronomes utilisent une autre référence, elle aussi complètement arbitraire, mais pas biblique, en particulier pour y ajouter le zéro et faciliter les calculs.

Mais si nous avons autant fêté l’année 2000, c’est avant tout parce que l’on aime les nombre avec pleins de zéros! Malgré la lutte d’Aristote pour le faire disparaître, qui n’a jamais joué avec le compteur d’une pompe à essence pour tomber sur le nombre rond, qui n’a jamais attendu qu’un réveil à chiffres affiche l’heure pile?

Le grand saut des Indiens

La fin de l’histoire de la découverte du zéro est moins épique. C’est chez les Indiens qu’il réapparaît. Les Indiens n’avaient ni peur du vide ni de l’infini. Le cosmos hindou était infini et pour eux, tout avait été créé à partir du vide. Les indiens appréciaient donc le zéro. Ils passèrent d’un système grec à un système Babylonien en base 10. Nos chiffres sont des évolutions de leurs chiffres et ne méritent donc pas vraiment l’appellation de chiffres “arabes”.

C’est en 628 qu’est défini le zéro dans le traité de Brahmagupta. Il définit ce nombre comme la soustraction d’un nombre par lui-même. Les Arabes récupèrent alors ces écrits, les traduisent et importent ainsi le zéro.

Pendant ce temps, en Europe on continue à utiliser le système romain pourtant bien peu pratique pour faire des mathématiques. La peur du vide est toujours là mais grâce aux marchés, le zéro aura le dernier mot! La première étape est de retirer certaines doctrines un peu absurdes en postulant qu’Aristote n’a pas à décider ce que Dieu peut faire ou non!

Fibonacci, un mathématicien italien, influencé par les Arabes, introduit le zéro en Europe dans son livre où il présente la fameuse suite qui porte son nom. Les marchands, ayant besoin de faire des opérations sans erreurs adoptèrent très rapidement le nouveau nombre… Le zéro est enfin arrivé en Europe!

Sources :

“Zero : biography of a dangerous idea” de Charles Seife : LE livre grâce auquel j’ai construit ce dossier, tout simplement.
“Histoires d’algorithmes : du caillou à la puce” de Jean-Luc Chabert : pas mal d’exemples sur le système babylonien et egyptien
“The book of nothing : Vacuum, Voids, and the lastest ideas about the origins of the universe” de john D. Barrow : juste parcouru mais j’aime beaucoup Barrow.

Suite (et fin) du dossier:

» Zéro et l’Infini… Une’histoire d’amour impossible

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Podcast science 0 (105) – Zéro 2/2 – Zéro et l’infini, une histoire d’amour…

On 18.10.2012, in Notes d'émission, by Podcast Science

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Le quizz de la semaine

Cette semaine

Les cacahuètes servies dans les bars contiennent de l’urine. Info ou intox?

La semaine dernière

Il ne faut pas mélanger alcool et antibiotiques. Info ou intox?

Enregistrez votre réponse pour l’un ou l’autre des quizz – ou les deux – sous forme de commentaire écrit ou audio.
Un prix à gagner pour les premiers commentaires audio.

Ils seront diffusés lors de notre soirée radio-dessinée du 25 octobre diffusée en live et en public depuis l’Espace des Sciences, intitulée “Tu t’es vu quand tu fais de la science?”

Les plugs de la semaine

le nouveau blog de Lucile est en ligne: http://www.fumettomatic.com/fr/ Pas encore beaucoup de contenus, mais elle a promis de le remplir d’illustrations pour Podcast Science. On y trouvera de la science bien sûr, mais également une vitrine de ce qu’elle fait au boulot et ce sera un lieu où elle racontera des propres histoires, notamment celle de ses tribulations d’expat française en Italie. Longue vie à ce nouveau blog!
Si vous vous demandez si on change de personnalité quand on se déshabille, si on se sent sale après avoir menti, si on se croit plus malheureux que les autres, je me dois de vous signaler l’existence d’un excellent petit podcast! Chaque épisode dure 2 minutes et relate une expérience en psychologie. C’est très vite écouté et super bien fait. “Sous l’oeil des psys”, par Jean-Claude Monestès. http://www.sousloeildespsys.fr/
Sortie ce week-end du 4e numéro du magazine Ithaque (avec seulement 6 mois de retard). Alan s’y est déchaîné un peu en écrivant tout le bien qu’il pense des salles de fitness. http://www.itha.ch/

Et comme d’hab, votez pour nous
- http://bit.ly/PodcastScience_European_Podcast_Award, nous sommes dans le top20 de la catégorie science! Merci
- http://bit.ly/GBA2012PodcastScience
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- http://podcastfrance.fr/podcastscience-fm/ on vient de passer dans le top 20, merci

La quote de la semaine

Nico: “Un homme parti de rien pour arriver nulle part n’a de merci à dire à personne” (anonyme)

<Pingouin> “There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics.” Benjamin Disraeli (1804–1881), Premier ministre du Royaume-uni sous le règne de la reine Victoria.

On se retrouve la semaine prochaine à l’espace des sciences! Yéééh!

Bonne semaine!

La chatroom

* Bienvenue Alan, parle maintenant.
<Alan> Salut tout le monde!
<Alan> Robin retrouve son mot de passe Skype et on arrive
* Nicotupe (88.175.94.116) nous a rejoint #testPS
<Pingouin> Ah je pensais que vous aviez tenté une division par zéro !
<Alan> aussi oui
* ElJj (90.44.53.87) nous a rejoint #testPS
<Pingouin> http://imagemacros.files.wordpress.com/2009/07/divide_house.jpg?w=720
* jak (92.104.155.181) nous a rejoint #testPS
* tolaria (87.65.8.187) nous a rejoint #testPS
<Alan> encore 2 petites heures et on est là
* Xilrian (82.225.206.26) nous a rejoint #testPS
<MonsieurSmith> Salut alan et nico alors content ? GBA ?
<tolaria> Bonsoir de Belgique.
<Alan> Une chatroom internationale
<ElJj> On entend !
<ElJj> (Si si, il y a des mathématiciens dans la chatroom !)
<Pingouin> Heu c’est une rediff de la semaine dernière ?
<Pingouin> (oups pb chez moi)
<Alan> ah? quel problème?
<Xilrian> Nop
<Xilrian> c’est la suite d ela semaine dernière
<Pingouin> non non rien j’avais lancé par erreur l’épisode 104 juste quand vous avez commencé
<Xilrian> ^^
<Alan> Oh El JJ! Effectivement, il y a des matheux dans la chatroom, et quels matheux!
<ElJj>
* aldesmy (82.224.217.210) nous a rejoint #testPS
* d (91.178.83.82) Quitter
* STATUS: Absent
-
<aldesmy> mais ça dépend la place du soleil non ?
<Pingouin> je pense qu’on se place dans le cas de la nuit et de la luciole seulement
<Pingouin> le soleil c’est la luciole dans ce cas
<aldesmy> ah oui
<aldesmy> ouh punaise
<aldesmy> (il manque un dessin)
<Xilrian> Nos deux mathèmaticiens vont avoir des problèmes à en poster aujourd’hui
<ElJj> http://images.math.cnrs.fr/IMG/jpg/riemann_3s.jpg
* STATUS: Online
-
<Alan> Merci El JJ
<Pingouin> http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/complexfunreciprocal/ComplexFunReciprocalMod/Images/ComplexFunReciprocalMod_gr_44.gif
<aldesmy> merci!
<Xilrian> Merci @El JJ
<Alan> Et merci Pingouin
<Pingouin> 0 x infini = 0 même pour les physiciens, non ?
<ElJj> L’effet Casimir, celui qui meut l’île de Lost !
<Jorj> Pas d’infini en physique, non?
<Alan> @El JJ aaaaah! bin non en fait… toujours rien compris à Lost
<Pingouin> lim de a.0 = 0 (quand a -> infini) ?
<Alan> @Jorj ah bon?
<Pingouin> Bon je sens que cet épisode va encore battre des records, en tout cas je vais devoir le réécouter
<Nicotupe> @pingouin oui
<Nicotupe> a*0=0 donc tu peux faire tendre a vers ce que tu veux ca reste 0
<Pingouin> Donc Nico quand tu dis que infini x 0 >= constante c’est faux non ?
<Nicotupe> pour des physiciens non, en gros l’idée :
<Nicotupe> quand tu as (f(x).g(x) avec f qui tend vers 0 et g qui tend vers infini
<Nicotupe> ca peut faire nimporte quoi
<Pingouin> ok vu comme ça ! merci !
* ElJj (90.44.53.87) Quitter
* ElJj (90.44.53.87) nous a rejoint #testPS
* STATUS: Absent
-
<Nicotupe> quand je dis “les physiciens ont le droit” c’est que parfois e 0 dans 0xinfini est une limite sus entendue chez les physiciens
<MonsieurSmith> fimè !
<ElJj> Le RDV est pris !
<Pingouin> Je serai là le 25 aussi !
<MonsieurSmith> oui
<Jorj> Comment tu mesure l’infini en physique ? (non théorique)
<MonsieurSmith> la terre
<MonsieurSmith> ah ben non :p
* staulott (46.193.131.219) Quitter
<pierreOpotier> j espère qu’alfred a participé
* staulott (46.193.131.219) nous a rejoint #testPS
* man0 (92.163.26.133) nous a rejoint #testPS
* man0 (92.163.26.133) Quitter
* Mentine (109.222.95.82) nous a rejoint #testPS
* STATUS: Online
-
<Alan> Alfred?
<pierreOpotier> le pot de batman
<Alan>
<Mentine> bonsoir à tous … woaw le mond
<Mentine> e
<Alan> Salut Mentine!
<Xilrian> ciao la tchatroom je dois fuire avant la fin
* rapha (90.21.255.207) nous a rejoint #testPS
<Xilrian> et coucou mantine aussi ^^
* rapha (90.21.255.207) Quitter
<Mentine> coucou Xilrien
<Alan> Haha
<Pingouin> Bravo Montine
<pierreOpotier> =)
<Pingouin> “There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics.” Benjamin Disraeli (1804–1881)
<Alan>
<pierreOpotier> ^^
<Alan> on peut l’utiliser comme quote?
<Pingouin> oui oui ! elle est très connue
<Pingouin> je dirais personellement que parmi toutes les statistiques disponibles les politiciens utilisent celles qui les arrangent
<Pingouin> encore un biais, ce qui me rappelle un ancien numéro
<Alan> ça m’en rappelle 2… chocolat suisse la semaine prochaine si tu trouves lesquels
<Mentine> attention Alan, la quote a déjà été utilisée pour l’épisode sur les biais statistiques
<ElJj> Il faut dire que le dossier sur les nbs premiers est excellent !
<Pingouin> ah surement oui Mentine
<Alan> sérieux Mentine?
<pierreOpotier> l’épisode prochain sera premier
<pierreOpotier> ah nan
<pierreOpotier> heu
<pierreOpotier> nan ^^ 107
* Neptilo (84.98.51.127) nous a rejoint #testPS
* Newek (82.234.116.241) nous a rejoint #testPS
<Newek> Bonsoir All !
<Newek> Info !
* STATUS: Absent
-
<Newek> Les quotes de Mathieu nous manquent !
<Mentine> vous demandez des anecdotes de cuite? arf podcast science a bien évolué!
<Jorj> Pierre Dac
* A1 (82.249.187.252) nous a rejoint #testPS
* pouet (31.37.149.118) nous a rejoint #testPS
* pouet (31.37.149.118) Quitter
<Mentine> si c’est faux je vais être ridicule :X
<Nicotupe> meuh non
<Nicotupe> @mentine tu viens le 25?
<Newek> Qui va venir jeudi prochain ?
<Nicotupe> moi!
<Newek> Mouhahaha je m’en doutais !
<aldesmy> tu peux répéter le nom du podcast en deux minutes ?
<aldesmy> je suis pas réactive
* A1 (82.249.187.252) Quitter
* tolaria (87.65.8.187) Quitter
<Pingouin> Newek : ElJj et MonsieurSmith ont dit qu’ils venaient (et moi aussi)
<Newek> On va ramener à Nico une bière et un clavier ^^
<Mentine> c’est le 25 octobre?
<ElJj> Je serai sur la chatroom ! (Je suis beaucoup trop loin de Paris pour venir en semaine )
<Mentine> je ne pourrait pas être là
<Newek> A la semaine pro !
<Pingouin> ah ok ElJj
<Newek> J’écoute souvent PCS
<Jorj> Tchao Tchao
<Mentine> Prochaine IRL à toulouse!!
<Pingouin> Sur le live tout s’est bien passé, sauf le son du blog audio de Xilirian que je trouvais moins bon
<Newek> On vous entend les mecs !
<Newek> ça fait plaisir !
* staulott (46.193.131.219) Quitter
<Mentine> oui
<Mentine> tournefeuille est la 2eme plus grosse aglo près de toulouse
<Mentine> bon donc on loue la cité de l’espace
<Mentine> et on fait une spéciale trous noirs
<Newek> Qui boit de la bière la semaine pro ? Je ramène un pack !
<Mentine> je me renseigne sur la faisabilité déjà
* Yves (84.227.112.1) nous a rejoint #testPS
<Mentine> the Twilight zone
* e (90.60.245.33) nous a rejoint #testPS
<Pingouin> n’oubliez pas de mettre le dossier en ligne !
<Pingouin>
* Jorj (82.123.64.50) Quitter
* jak (92.104.155.181) Quitter
<Pingouin> ok ok je croyais que vous aviez oublié de le mettre en ligne
* e (90.60.245.33) Quitter
<Pingouin> j’aime bien les off
<pierreOpotier> =)
<Newek> Je savais même pas que il faisait du off
<Pingouin> lol
<Mentine> bises à tous
<ElJj> Au revoir !
<Pingouin> Ca vient de Pingouin Migrateur, pour info
<Nicotupe> oki
<Pingouin> un guide de migration vers Linux
* j (82.251.95.243) nous a rejoint #testPS
<Newek> Allez Allan, Nico
<Newek> BOnne soirée
<Pingouin> ciao
* Mentine (109.222.95.82) Quitter
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-
<Alan> ciao tout le monde!
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<Newek> à la semaine pro en live
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Podcast Science 77 – Sur la Pi-ste d’une constante mathématique

On 14.03.2012, in Notes d'émission, by Podcast Science

Aujourd’hui, le 14/03, est un jour consacré à pi. Pour cette occasion NicoTupe, nous a préparé un dossier pour présenter les particularités de ce nombre, et toute sorte d’information le concernant, comme les méthodes pour le calculer ou encore le nombre de décimales connues.

Le dossier de Nico est consultable ici.

Chronique cinéma : les femmes en mathématiques

Les quotes de l’émission

- “If you wish to make an apple pie from scratch, you must first invent the universe. — Carl Sagan”

- “Il est plus facile de désintégrer un atome qu’un préjugé. - Albert Einstein”

- “Love is like pi – natural, irrational, and very important. – Lisa Hoffman”

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Sur la Pi-ste d'une constante mathématique

On 14.03.2012, in Dossiers, by Nicotupe

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Si nous faisons aujourd'hui une émission sur pi, c'est avant tout parce que le 14 mars est une date très spéciale. Aux États-Unis, on note d'abord le mois puis le jour pour indiquer la date, nous sommes donc le 3-14, ce qui correspond à une estimation des premières décimales de ! Cette journée festive pour les mathématiciens est l'occasion de manger des pie (tartes) en buvant des piña colada. Pour l'anecdote, c'est le jour où le MIT dévoile ses admissions, il le fait à 1:59pm (les décimales suivantes dans pi)

Plusieurs nombres ont un statut particulier en mathématiques, principalement du fait de leur histoire. Les plus célèbres sont sans aucun doute , le nombre d’or, exponentielle, et oméga (celui-là, vous ne le connaissez probablement pas, j’en parle un peu plus loin dans ce dossier). Cette illustration d’XKCD résume assez bien l’ensemble des nombres “intéressants” pour les mathématiens.

garde un statut particulier, c’est avec celui dont la définition est la plus simple et pourtant il a, du fait de ses propriétés complexes perturbées de nombreux scientifiques de l’histoire. Dans ce dossier, nous verrons quelques-unes des propriétés de ce nombre unique.

Je ne vais pas m’attarder trop longtemps sur la définition la plus connue de , à savoir le rapport entre la circonférence (longueur du périmètre d’un cercle) et son diamètre. Ni de la définition qui suit généralement à savoir le rapport entre l’aire du cercle et le carré de son rayon. En revanche, nous allons commencer par répondre à une question que vous ne vous êtes sans doute pas assez posée est-il constant?

Pi est-il constant?

La réponse largement acceptée à cette question est oui. Pourtant cela reste à démontrer. Une démonstration simple utilise un théorème que l’on voit à l’école : le théorème de Thalès. Son énoncé est le suivant :
“Soit un triangle ABC et deux points D et E tels que les droites (DE) et (BC) soient parallèles. Alors on a ”
Si l’on prend alors deux cercles de rayon différents et que l’on trace le plus grand polygone de 10 côtés à l’intérieur, on obtient la figure suivante :

Le théorème de Thalès permet d’affirmer que le rapport entre les côtés de chaque polygones sont égaux au rapport des rayons des deux cercles :

Si on augmente le nombre de côtés des deux polygones, les “rayons” des polygones convergent vers la même valeur et le rapport des circonférences est donc égal au rapport des rayons, les des deux cercles sont donc égaux (pour que la démonstration soit juste, il ne faut pas se contenter de tracer le plus grand polygone contenu dans le cercle, mais tracer aussi le plus petit qui contient le cercle).

Ouf, est constant, on ne nous a pas menti! Enfin, comme toute démonstration mathématique, elle est vraie dans le cadre de certaines hypothèses… Pour que le théorème de Thalès soit vrai, il faut se placer dans la géométrie d’Euclide, soit grossièrement une géométrie “plate” en opposition à une géométrie courbe. Prenons par exemple une assiette à soupe. Le pourtour de l’assiette forme bien un cercle, mais le centre de ce cercle, sur l’assiette, n’est pas sur le même plan que ce cercle et ne coïncide donc pas avec le centre “euclidien” du cercle. Sur Terre, le problème est le même, du fait de la forme de la terre, quand on trace un cercle au sol et mesure son diamètre, la valeur n’est pas la même que celle que l’on obtiendrait en géométrie euclidienne. Cela a pour conséquence que sur Terre n’est pas constant!

Rassurez-vous, le des mathématiques est bel est bien constant et correspond au rapport des cercles en géométrie Euclicienne. Cette remarque permet de différencier deux types de constantes :

Les constantes “physiques” : Des expériences laissent penser qu’une opération donne toujours le même résultat quelles que soient un certain nombre de transformations subies par un objet (par exemple en traçant plusieurs cercles sur le sol et en mesurant diamètre et circonférence, on constate que le rapport fait toujours la même valeur).
Les constantes “mathématiques” : Grâce à plusieurs hypothèses, on a démontré que cette valeur était constante.

Dans l’histoire, a d’abord été une constante physique, il n’est devenu constante mathématique assez tard grâce à l’homme dont l’un des bains est le plus célèbre de l’histoire.

Les premières apparitions

Une des premières apparitions de , ou du moins de l’idée d’un rapport constant entre la circonférence du cercle et de son rayon, provient d’une tablette babylonienne datant d’environ 2000 avjc. Grâce à l’hexagone inscrit dans un cercle, les Babyloniens avaient proposé l’approximation .
Les Égyptiens quant à eux ont laissé la trace d’un calcul implicite de sur le papyrus de Rhind. Ce papyrus, rédigé par le scribe Ahmès environ 1650 ans avant notre ère, est la recopie d’un manuel scolaire un peu plus vieux (1800 avjc environ) et est représenté sur l’image ci-dessous (trouvée sur wikipedia).

Sur ce papyrus, on donne une méthode pour calculer la surface d’un cercle à partir de son diamètre D :

Enlever 1/9 au diamètre du cercle
multiplier le résultat par lui-même

Soit la formule au lieu de soit une estimation de pi à .
Notons que rien ne prouve aujourd’hui que les Babyloniens ou les Égyptiens savaient si leurs valeurs de était exacte ou une approximation. Ils avaient expérimentalement constaté qu’il existait un rapport constant et l’avaient estimé par diverses manières.

Et pi devint mathématique

Ce n’est que beaucoup plus tard, autour de 250 avjc qu’Archimède transforme la constante physique en une constante mathématique. Dans le traité “De la mesure du cercle”, il calcule des encadrements de . Pour calculer ces encadrements, il utilise des polygones réguliers (un polygone régulier à n côtés est une figure ayant n côtés égaux). Pour encadrer la circonférence d’un cercle, il encadre le dit cercle par le plus petit polygone qui contient le cercle et le plus grand polygone contenu dans le cercle (comme dans la figure ci-dessous).

Ce type de construction permet non seulement de calculer à la précision que l’on souhaite (en prenant des polygones avec de plus en plus de côtés), mais permet aussi de démontrer que est bien une constante mathématique.

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué?

Il existe de nombreuses autres manières pour définir . Un constat simple est que partout où l’on trouve un cercle ou une sphère, on peut trouver . Ainsi, le volume d’une sphère dépendra de (), sa surface aussi () ainsi que la probabilité pour un cure-dent que vous lancez sur votre parquet de croiser un rainure (l’ensemble des sens selon lequel le cure-dent tombe sur le sol forme un cercle). Aujourd’hui, ces définitions géométriques sont très peu utilisées, les mathématiciens y préfèrent des définitions plus abstraites, mais aussi plus faciles à manipuler.

On peut par exemple définir en disant que c’est l’unique nombre x tel que cos(x/2)=0. Ayant bien sûr avant défini cosinus grâce à des exponentielles complexes et l’exponentielle grâce à une somme infinie de termes, ayant alors posé la théorie des sommes infinies et des nombres complexes… Autant dire que l’on est loin de la simplicité géométrique. Pourtant, ce type de définition permet de démontrer des résultats très élégants et pratiques pour calculer :

A l’école, les plus jeunes auront appris que vaut à peu près 3,14 et les plus vieux 22/7, ces deux nombres très simples sont hélas des approximations. On a d’un côté une définition très simple de et de l’autre des formules très compliquées (une infinité de termes) pour le calculer, n’y a-t-il pas une formule plus simple? Durant toute l’histoire, les mathématiciens ont essayé de ranger dans des ensembles de nombres qui par leur propriétés simplifieraient le calcul, sans succès. Ils ont ainsi rendu célèbre pour tout ce qu’il est pas!

Ce que pi n’est pas!

Les premier nombres qui furent utilisés sont les nombres dit “naturels” :

L’ensemble de tous ces nombres est noté . Assez rapidement le besoin s’est fait sentir d’avoir des nombres négatifs. Les nombres négatifs sont les inverses pour l’addition des entiers naturels. C’est à dire qu’en additionnant un entier naturel, 3 par exemple, et son inverse, -3 dans ce cas, on obtient 0. Cet ensemble, bien que simple permet, avec les opérations que l’on connaît tous d’addition “+” et de multiplication “x” (on rappellera que la soustraction n’est pas une “vraie” opération, c’est l’addition de l’opposé), offre déjà la possibilité de faire les opérations d’arithmétique classique. C’est-à-dire que l’on peut y définir des polynômes ( par exemple), la division euclidienne (celle que l’on apprend à la petite école : la division de 13 par 4 a pour reste 1), etc.

Malheureusement et pour revenir à notre sujet, on s’est très rapidement rendu compte que n’est pas un entier. En fait, je n’ai vu qu’un texte qui présentait comme un entier (ou plutôt une approximation, le texte en question datant de 500 avjc, on ne parle pas du moderne) : la Bible. On peut en effet y lire :

“Il fit aussi une mer de fonte de dix coudées d’un bord jusqu’à l’autre, qui était toute ronde : elle avait cinq coudées de haut et était environnée tout à l’entour d’un cordon de trente coudées”

Pi n’est pas aimé des Py-taghoriciens

Les entiers relatifs ne suffisent pas à décrire . En fait, ils ne suffisent pas non plus à décrire la plupart des nombres que nous utilisons chaque jour. Quand on mange un gâteau par exemple, on est très vite amenés à parler du tiers ou du quart du gâteau. On est très habitués à parler en “fractions”. Une fraction s’écrit comme le rapport de deux entiers relatifs (1/3, 2/5, 1242332/58974892676, etc.)

Les fractions sont très utiles pour représenter des quantités intrinsèquement non entières. Par exemple, 1/3 permet de séparer en trois l’unité. L’École Pythagoricienne, qui exista autour des années 500 avjc, était persuadée que tous les nombres pouvaient être représentés par des fractions. Cette école philosophique (qui serait sans doute qualifiée de secte si elle existait encore aujourd’hui) pensait que le rapport entre toute quantité du même type peut être rapporté au rapport entre deux entiers. L’ensemble des fractions paraissait alors si “normal” qu’il est appelé aujourd’hui ensemble des “Rationnels”.
On ne sait sous quelles conditions, mais un jour les pythagoriciens sont tombés devant un paradoxe de taille. Si l’on trace un carré de côté 1, la diagonale de ce carré a pour longueur (le nombre qui multiplié par lui même fait 2).

Une ironie amusante est que l’on peut démontrer que cette diagonale correspond à grâce au théorème de Pythagore (La paternité du théorème qu’indique ce nom est très loin d’être certifiée…) Ce nombre dont le carré vaut 2 est-il rationnel, autrement dit, peut-on l’écrire sous forme de fraction?
Regardons cela de plus près. Dire que est rationnel revient à dire qu’il existe des entiers positifs p et q non nuls tels que

En élevant cette relation au carré et en multipliant par q, on obtient

Cette relation permet de déduire que est pair. Nous allons réécrire les nombres p et q afin de compter “le nombre de fois où ils sont pairs” :

où r est impair.

On peut dire alors que p est pair j fois. Le carré de p se décompose alors :

n’est pas pair car le carré d’un nombre impair est impair. On peut donc affirmer que le nombre de fois où est pair est 2j.

Effectuons le même raisonnement sur q en notant k le nombre de fois où il est pair. est alors pair 2k fois. Par suite, , le produit de par 2 est pair une fois de plus soit 2k+1 fois.

Or, on a écrit plus haut . Ceci implique que

Ce qui est tout simplement impossible car 2j est pair et 2k+1 est impair. La seule hypothèse faite ici est que pouvait s’écrire sous forme de fraction. Ce nombre ne peut donc pas s’écrire de cette manière sinon on aura des contradictions, il est “irrationnel”!
L’idée Pythagoricienne était alors détruite pour toujours, il existait des nombres non rationnels, que l’on ne pouvait pas écrire sous forme de fraction. rentre aussi dans cette catégorie de nombre, cela a été démontré en 1761 par Lambert. La démonstration est plus compliquée que pour donc non détaillée ici, mais les curieux pourront en trouver quelques éléments dans livre de Jean-Paul Delahaye cité en fin de dossier.

La preuve de l’irrationalité de réduit à néant aussi l’un des intérêts de recherches de décimales de (qui occupe encore aujourd’hui plusieurs personnes et supercalculateurs). En effet, un nombre rationnel a la propriété qu’à partir d’un certain nombre de décimales, on voit apparaitre un “cycle” :

1/3=0.3

33333333333… Le 3 est infiniment répété dès la première décimale
22/7=3.1428571428571428571… dès la première décimale, la suite de chiffres 142857 est répétée

Un des buts que pouvaient avoir le calcul des décimales de était de trouver ce cycle. La preuve de l’irrationalité de amena le fait qu’on ne trouvera jamais de cycle dans ses décimales.

Si et ont la propriété commune d’être irrationnels, il subsiste une très grande différence entre les deux : À partir d’un segment de longueur 1, je peux avec une règle non graduée et un compas tracer un segment qui fait exactement , la diagonale du carré. Qu’en est-il pour ?

Pi n’est pas aimé des carreurs

Autour de -500 (maintenant que les nombres relatifs sont définis, je peux les utiliser pour représenter les années), un grec nommé Anaxagore se posa un problème à la fois extrêmement élégant (tout le monde peut le comprendre et penser le résoudre facilement) et très dur à résoudre (plus de 2000 ans d’histoire ont été nécessaires pour trouver la réponse). Ce problème est celui de la “quadrature du cercle”. Le principe est de tracer un cercle et un carré faisant la même aire. Comme tout problème, il y a quelques règles à respecter :

On ne doit utiliser qu’une règle non graduée et un compas
Le nombre de tracés intermédiaires doit être fini (on ne peut pas en proposer une infinité)

L’impossibilité de quarrer le cercle (c’est le nom technique de la chose) a été démontrée en 1882. Mais l’apparente simplicité du problème a amené certaines personnes à continuer à essayer de trouver une construction pour quarrer le cercle, à tel point qu’une maladie existe pour les personnes qui veulent à tout prix résoudre la quadrature du cercle : “morbus cyclometricus”! Avant la démonstration de l’impossibilité, l’académie des science croulait sous les démonstrations (erronées bien entendu) du résultat à tel point qu’elle décida en 1775 qu’elle n’accepterait plus de regarder des démonstrations de la quadrature du cercle, elle avait probablement la conviction que c’était impossible.

Bien qu’assez élégant, énoncé comme cela il n’est pas simple de s’y attaquer rigoureusement. C’est cette imprécision qui a poussé plusieurs personnes à penser qu’elles l’avaient résolu. Construire un point à la règle et au compas veut dire que l’on a fait un nombre fini de constructions intermédiaires du type :

Tracer une droite entre des points déjà construits
Tracer un cercle dont le centre est un point déjà construit et le rayon est la distance entre deux points déjà construits.

Pour résoudre ce problème, il fallut faire le lien entre les constructions géométriques et les équations. Plusieurs mathématiciens renommés s’y sont attelés, de Descartes qui montra un lien entre certains type d’équations et les constructions à la règle et au compas jusqu’à Wantzel qui obtint l’équivalence entre les constructions géométriques à la règle et au compas et les “radicaux”.

Un nombre que l’on peut construire par radicaux est un nombre que l’on peut construire en un nombre fini d’étapes grâce aux nombres entiers et aux opérations racine carrée, division, multiplication, addition et soustraction. Ainsi,

est constructible par radicaux (à partir de 2 et de l’opération racine carrée)
est constructible par radicaux.

Grâce à cette formulation, le problème de la quadrature du cercle devenait : est-il constructible par radicaux? Wantzel démontra que non en 1837.

Les habitués des mathématiques réagiront vite en se demandant pourquoi se limiter aux racines carrées et ils auront bien raison! La notion de construction par radicaux a une grande valeur historique, mais aujourd’hui on parle davantage de nombre “algébrique”. Un nombre algébrique est un nombre qui est la solution d’une équation “polynomiale” à coefficients entiers. C’est-à-dire la solution x d’une équation du type :

ou encore

En clair une équation avec des puissances de x, des coefficients entiers et s’annulant. Chose très rare en mathématique, les nombres qui ne sont pas algébriques portent un non moins évident que “non algébriques”, ils sont “transcendants”. Autre chose étonnante et pour le coup très liée à la démarche du mathématicien, la notion de nombre transcendant a été définie avant même que l’on sache s’il en existait. Heureusement, Liouville trouva des nombres transcendants et bien plus tard, en 1882, Lindemann démontra que était transcendant. Autrement dit, jamais aucune équation polynomiale à coefficients entiers n’aura pour solution !

Pour résumer, n’est pas un entier, il ne peut pas être dessiné avec un compas et une règle, il n’est solution d’aucune équation algébrique, ce nombre est-il donc le plus compliqué qu’on puisse trouver, est-il rare de rencontrer des nombres de ce type?

Pourtant pi n’est pas bien compliqué

Comme nous venons de le voir, tout au long de l’histoire il a été démontré que le nombre était différent de la plupart des nombres que les mathématiciens rencontraient, c’est un nombre “transcendant”. Dans mon précédent dossier sur l’infini, nous avons vu qu’il existait plusieurs infinis plus ou moins grands. En particulier, j’ai présenté deux types d’infini, le dénombrable (celui que l’on peut numéroter) et l’indénombrable. Cantor a aussi démontré un résultat sur les nombres transcendants, ils forment un ensemble infini indénombrable alors que les nombres algébriques forment un infini dénombrable. Autrement dit, si l’on prend un nombre réel au hasard (si tant est que cela veuille dire quelque chose), il y a une probabilité nulle de tomber sur un nombre algébrique (comme 2 ou 3 ou , etc.). Autrement dit, ce n’est pas qui est rare, c’est plutôt tous les nombres que nous utilisons régulièrement!

En fait, appartient à un ensemble de nombres lui aussi dénombrable, celui des nombres “calculables”. Pour faire simple, un nombre calculable est un nombre duquel on peut approcher à une précision souhaitée en un nombre fini d'opérations. C’est à dire c’est un nombre dont le calcul jusqu’à n’importe quelle décimale peut être obtenu par un ordinateur. Tout comme la bibliothèque de Babel dans mon précédent dossier, l’ensemble de tous les programmes informatiques, de toutes les fonctions calculables est un ensemble dénombrable. L’ensemble des nombres que l’on peut calculer est donc infiniment plus petit que celui des nombres que l’on ne peut pas calculer. Autrement dit, en prenant un nombre réel au hasard, on a une probabilité nulle de tomber sur un nombre calculable… Les nombres Omega de Chaitin, dont je vous parlais en introduction sont justement des nombres incalculables. Il en existe même certains qui respectent beaucoup de très bonnes propriétés, mais dont on ne peut connaître aucune décimale!

Pour être complet sur les propriétés de pi, je me dois de préciser que le travail est loin d’être fini. Plusieurs résultats non démontrés subsistent : pi est-il un nombre univers (nombre dont tous les nombres entiers apparaissent dans les décimales)? Est-il un nombre normal (nombre dont les décimales suivent une certaine forme de hasard)?…

Puisqu’on a la chance d’avoir un nombre calculable, calculons-le!

La chasse aux décimales

Le calcul de décimales de n'a jamais cessé, depuis sa découverte, d'intéresser certains scientifiques. Pourtant cela ne sert pas à grand-chose… Depuis que l'on sait que est irrationnel, on sait qu'on ne trouvera pas de cycle dans ses décimales. Connaître plusieurs milliards de décimales n'aidera pas à savoir si oui ou non est un nombre univers ou un nombre normal. Mais pire encore, avoir plus d'une cinquantaine de décimales apporte beaucoup trop de précision par rapport à tous les calculs que nous serions amenés à faire. Par exemple, la seule connaissance de 40 décimales de suffit à calculer la circonférence de l'univers entier à la précision d'un atome d'hydrogène. Un des seuls intérêts mathématiques qui persiste serait de parvenir à trouver une régularité dans ces décimales, mais après plusieurs milliers de milliards de décimales connues, aucune n'est apparue.

En revanche, le calcul des décimales de pi a énormément fait avancer l'efficacité des méthodes calcul. Au début, les méthodes de calcul de reposaient sur la méthode des polygones présentée en début de dossier. Cette méthode permet de gagner trois décimales toutes les cinq étapes. Une autre méthode populaire est la méthode dite d'”arctangeante”, c'est celle correspondant à la somme infinie présentée plus haut. Elle est tout aussi peu efficace que la méthode d'Archimède. C'est pourtant avec ces méthodes qu'est dépassée la centaine de décimales connues au XVIIIe siècle.

Au XIXe siècle, les calculateurs de décimales s'organisent. La 200e décimale est dépassée en 1844 par Von Strassnitzki, ou plutôt Johann Martin Zacharias Dahse, calculateur prodigue qui effectua la plupart des calculs! Le record continue à être battu par Shanks qui en 1874 calcule 707 décimales. Ce record est pratiquement le dernier record humain (il fut battu en 1945) et a une importance historique. D'abord parce que Shanks a passé 20 ans de sa vie à l'obtenir. Pour que ce type de calcul soit validé, il faut que quelqu'un le vérifie. Évaluons les deux possibilités pour la personne effectuant la vérification :

Il trouve les mêmes décimales, Shanks deviens célèbre. Le vérificateur tombe dans l'oubli
Il ne trouve pas les mêmes décimales. Cela ne prouve rien, il faut un autre vérificateur pour savoir qui a raison.

Autant dire que pour 20 ans de calcul, le jeu ne vaut pas tellement la chandelle. C'est une des raisons pour lesquelles le record résista d'abord jusqu'en 1945 et surtout jusqu'à l'apparition des premiers calculs par machine.

A la création du Palais de la Découverte à Paris en 1937, à l'occasion de l'exposition universelle, Borel décida de construire une salle dédiée à Pi. Ce lieu, unique salle au monde dédiée à pi (selon plusieurs sources mêmes si j'ai du mal à y croire), a été construite sur une base circulaire et avec un plafond formant une demi-sphère. Tout autour, les décimales de Shanks y ont été affichées. En 1945 avec le nouveau record et avec les records suivants, on eut la certitude que le calcul de Shanks était faux à partir de la 528e décimale. Les décimales du Palais de la Découverte ont donc été fausses jusqu'en 1945, mais contrairement à beaucoup de rumeurs, elles ont été corrigées depuis. Vous pouvez vérifier vous même en cherchant au-dessus du nom “Poisson” de la frise des mathématiciens les décimales “…0213949463…” on y lisait avant “…021395016…”. Ci-dessous une photo des décimales de la salle pi, mais n'hésitez pas à la visiter, elle existe encore!

L'ère des machines

Contrairement à ce que l'on pourrait croire, l'efficacité du calcul de pi par les ordinateurs ne dépend pas seulement de la puissance des ordinateurs, mais bien aussi du raisonnement mathématique utilisé. Il est même amusant de remarquer qu'historiquement les scientifiques se sont beaucoup plus intéressés à la façon de moins faire de calculs depuis que ce n'est plus eux qui les font. Par exemple, pour calculer

on effectue trois opérations (une addition et deux multiplication). Alors que si l'on factorise le calcul,

on effectue plus que deux opérations! Soit un gain de temps de 30%!

Ce sont donc des raisonnements mathématiques à la fois sur la complexité (nombre d'opérations à effectuer) et sur les propriétés de qui ont permis à travers les années de battre les records sur pi. En 1973, le million de décimales est dépassé par Guilloud et Bouyer qui utilisent la même formule que Shanks. La vérification de ce calcul a été effectuée par le CERN, à Genève et le résultat a été publié (oui oui, il s'agit bien d'un ouvrage ne contenant pratiquement que des décimales de pi!).

Aujourd'hui, le milliard de décimales est largement dépassé. En décembre 2009, le français Fabrice Bellard établit le record vérifié de 2700 milliards de décimales calculées avec un simple ordinateur de bureau. En octobre 2011, les Japonais Yee et Kondo affirment avoir calculé 10 000 milliards de décimales, résultat pas encore totalement validé à ma connaissance. Depuis que l'on connaît autant de décimales, il a été vérifié que toutes les dates de naissance (groupes de 6 chiffres) apparaissent, vous pouvez même chercher la vôtre ici.

Pour finir, Pi est donc un nombre qui de tout temps a passionné les scientifiques. Les propriétés et anecdotes rapportées ici ne sont qu'une infime partie de son histoire. Si le sujet vous intéresse, n'hésitez pas à consulter les livres ci-dessous.

L'image du teaser (dont le fond sont les décimales de pi) :

Sources et liens pour aller plus loin :
- Le fascinant nombre Pi de Jean-Paul Delahaye. Le livre à lire si le sujet vous intéresse, il est complet et simple d'accès, un must!
- Alex au pays des chiffres de Alex Bellos. Un livre très général et très agréable à lire, il contient un passage sur pi intéressant.
- Un exposé sur la salle pi au Palais de la Découverte : Permet aux non parisiens de voir la salle pi et contient plein d'informations, d'anecdotes qui ne sont pas dans ce dossier!
- La fabuleux destin de V2 de Benoit Rittaud. J'y ai trouvé la démonstration de non rationalité de racine de 2. C'est un excellent livre sur ce nombre.
- Calculer pi avec la pluie (merci Mathieu): http://amazings.es/2012/02/29/calculando-pi-con-gotas-de-lluvia/
- Des anecdotes sur le jour de pi ici : http://www.piday.org/stuff/
- Un WWsh qui parle de PI, queqlues exemples de WTF sonores autour de pi : http://www.linaudible.com/2011/03/19/wwsh065/

Et pour accéder directement au livres cités sur Amazon, c'est ici :

Widgets Amazon.fr

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Podcast Science 74 – L'infini : quand il n'y en a plus, il y a Cantor

On 22.02.2012, in Notes d'émission, by Podcast Science

Dossier d'intronisation pour Nico – L'infini : quand il n'y en a plus, il y a Cantor !

Retrouvez le dossier par ici !

Le mp3 de l'émission, par ici, mais également en haut ou en bas !

Et cette semaine, on a le bonheur d'avoir une illustration de Lucile, how do i use my ipad

sur l'infini” href=”http://www.podcastscience.fm/illustrations/2012/02/22/illustration-bref-jai-essaye-dexpliquer-une-blague-de-math/” target=”_blank”>par ici. C'est un bref-like en image, bref, nous on adore !

En bonus, une p'tite vidéo sur le paradoxe de l'hôtel de Hilbert !

Le lien vers le billet de Science étonnante dont on parle pendant l'émission !

Et enfin la fameuse quote, de Marco cette semaine :

L'éternité c'est long, surtout vers la fin

Woody Allen, ou Kafka, on est pas sur ! Si vous avez des informations, on est preneur !

L’infini… Quand il n’y en a plus, il y a Cantor!

On 22.02.2012, in Dossiers, by Nicotupe

(Seuls les dossiers sont pris en compte dans le classement)

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L’infini est depuis toujours dans la tête des hommes sans pour autant qu’ils arrivent à l’appréhender. Parfois objet de fantasme, on le croise dans beaucoup de publicités allant des forfaits téléphoniques illimités aux restaurants à volonté. D’autres fois objet d’inquiétude devant son immensité comme a eu l’occasion de le dire Pascal :

Le silence éternel de ces espaces infinis me terrifie – Pascal

L’infini peut être très grand, mais aussi très petit. Dans l’antiquité, Zénon d’Élée présente une première approche de cet infiniment petit par le biais d’un paradoxe. Prenons deux points A et B représentés sur la figure ci-dessous.

Ce paradoxe explique qu’un objet ne peut aller de A à B en un temps fini. En effet, pour atteindre B en partant de A, cet objet doit passer par le milieu M du segment. Puis il doit passer par le milieu M’ de MB, puis par le milieu M” de M’B et ainsi de suite… L’objet doit donc passer par une infinité de points, ce qui est impossible (selon Zenon) en un temps fini.

Ce très vieux paradoxe illustre que l’on peut aussi croiser l’infini dans des espaces finis (ici le segment AB) en pratiquant une simple opération de découpage par deux. Pour plus de détails sur ce paradoxe et sa résolution, je vous invite à aller écouter le petit dossier de Mathieu sur le sujet dans le n°9 du podcast.

Chez les mathématiciens, l’infini a été un des plus importants sujets de discorde de l’histoire. Il y a un siècle seulement a eu lieu un véritable tremblement de terre au sein de la communauté mathématique au point que certains ont voulu éliminer l’infini des limites autorisées dans cette science! Tout cela à cause des travaux d’un seul homme, Georg Cantor, qui pour la première fois dans l’histoire réussissait à appréhender l’infini avec rigueur, mais certains de ses résultats remirent en cause les bases sur lesquelles se fondaient les mathématiques depuis des siècles.

Ce dossier présente les principaux résultats de ce “corrupteur de jeunesse” (c’est le nom que lui donnait un autre scientifique célèbre de l’époque, Kronecker) et quelques-unes de leurs implications.

Réapprendre à compter

Une des premières rencontres avec l’infini se fait très tôt, en répondant à la question “jusqu’à quel nombre sais-tu compter?”. Contrairement à l’affirmation commune, on n’arrive jamais à compter jusqu’à l’infini, mais on connait une méthode pour à partir d’un nombre donner, trouver le chiffre suivant. Roman Opalka, un artiste contemporain, a bien essayé de compter jusqu’à l’infini (une de ses peintures ci dessous), mais après 40 ans de travail, il trouve toujours le chiffre suivant!

Il n’est donc pas possible en temps fini de compter tous les nombres. Mais est-il possible de savoir s’il y a plus de nombres entiers :

que de nombres pairs :

La réponse semble être évidemment qu’il y a plus de nombres entiers que de nombres pairs étant donné que les nombres pairs sont strictement inclus dans les nombres, mais comment en être sûr?

Toutes les personnes ayant invité le temps d’une soirée des amis ont déjà trouvé, sans s’en rendre compte, une solution pour comparer efficacement des ensembles, même infinis! Pour qu’une soirée soit réussie, il est préférable que chaque invité ait un verre. On peut, bien sûr, compter le nombre des verres et le comparer avec le décompte du nombre d’invités. Étrangement, cette solution est rarement la plus efficace, que ce soit à cause d’un ami enfermé aux toilettes ou d’une erreur de compte pour cause d’ébriété.
Une méthode autrement plus efficace est de donner un verre à chaque invité. Si alors il reste des verres, c’est qu’il y a plus de verres que d’invité et inversement si des invités n’ont pas de verre c’est qu’il y a moins de verre que d’invité.

Pour comparer “l’ensemble des verres” et “l’ensemble des invités”, on a ainsi essayé d’associer à chaque invité un verre. Inversement, on sait retrouver à quel invité appartient le verre en regardant qui est au bout du bras qui le tient. Ce type d’application s’appelle en mathématique une “bijection”. Une bijection est une application entre deux espaces, elle associe à chaque élément de l’espace de départ (ici un invité) un unique élément de l’espace d’arrivée (ici un verre) et inversement à chaque élément de l’espace d’arrivée est associé un unique élément de l’espace de départ.

L’intérêt de ce type de transformation est de pouvoir comparer des ensembles. Ainsi, si chaque invité à un verre, on pourra dire que l’ensemble des verres contient autant d’éléments que l’ensemble des invités.

Armés de cette “bijection”, nous sommes à même de comparer des ensembles qu’ils soient finis ou infinis. Et c’est grâce à ce simple outil que Cantor a pu fabriquer sa théorie de l’infini.

Le merveilleux hôtel de Hilbert

Pour enseigner les nouvelles théories de Cantor, Hilbert, déjà un mathématicien célèbre à l’époque, propose une métaphore qui depuis porte son nom : l’Hôtel de Hilbert.

Cet hôtel est un lieu merveilleux puisqu’il contient une infinité de chambres. Et sa renommée à travers l’univers a fait ses preuves à tel point qu’aujourd’hui chacune des chambres est pleine. C’est-à-dire que quel que soit le numéro de chambre (par exemple la chambre n°1 345 765), il y a quelqu’un à l’intérieur. Un jour, se présente à la réception une personne souhaitant une chambre pour la nuit. Un propriétaire d’hôtel fini serait obligé de refuser cette nouvelle personne, mais le propriétaire de l’hôtel infini a plus d’un tour dans son sac. Il prend son micro et lance une annonce pour tous les résidents de l’hôtel :

“A chaque locataire, la direction a besoin de réorganiser l’hôtel, veuillez immédiatement rejoindre la chambre dont le numéro est immédiatement supérieur au vôtre. En nous excusant du dérangement”.

Ainsi, le locataire de la chambre 1 est maintenant dans la chambre 2
celui de la chambre 2 est maintenant dans la chambre 3
celui de la chambre 3 est maintenant dans la chambre 4
…
celui de la chambre 1 345 765 est maintenant dans la chambre 1 345 766
…
et ainsi de suite. Étant donné que chaque entier a un entier qui lui est directement supérieur, tous les locataires ont une chambre! Plus étonnant encore, grâce à cette réorganisation, il y a maintenant une place disponible dans la première chambre, on a donc

Ce résultat était connu de longue date et a perturbé beaucoup de scientifiques. En particulier, il est contraire à un des postulats de Galilée :

“Le tout est toujours plus grand que n’importe laquelle de ses parties”

Ici “le tout” est l’ensemble des entiers naturel strictement positifs, noté :

et “une de ses partie” est l’ensemble des entiers plus grand ou égal à 2 :

Déplier pour comprendre la notation du deuxième ensemble.

Dans cette notation, désigne l’ensemble des entiers naturels. désigne l’ensemble qui ne contient que le chiffre 1 et l’opération “” consiste à retirer les éléments du deuxième ensemble (ici 1) du premier (ici les entiers naturels).

L’ensemble est contenu dans et devrait donc, selon Galilée, être plus petit que . Or, le propriétaire de l’hôtel de Hilbert a trouvé une “bijection” entre les deux ensembles. Cette “bijection” que l’on va noter b associe à un entier l’entier qui le suit. Par exemple

…

…

Cette application associe bien à chaque entier de un unique entier de . Ces deux ensembles ont donc le même nombre d’éléments.

Revenons-en à l’hôtel infini. Devant ce succès pour loger le nouvel arrivant, par le bouche à oreilles, le mois suivant un bus infini arrive à l’hôtel encore une fois complet! Gardant son flegme légendaire, le propriétaire lance l’annonce suivante :

“A chaque locataire, la direction a besoin de réorganiser l’hôtel, veuillez immédiatement rejoindre la chambre dont le numéro correspond au double de votre numéro de chambre actuel. En nous excusant du dérangement”.

Ainsi, le locataire de la chambre 1 est maintenant dans la chambre 2
celui de la chambre 2 est maintenant dans la chambre 4
celui de la chambre 3 est maintenant dans la chambre 6
…
celui de la chambre 1 345 765 est maintenant dans la chambre 2 691 530 (celui-ci aura un peu plus de marche que les autres).
…
et ainsi de suite.

Le propriétaire a ainsi libéré toutes les chambres ayant un numéro impair en envoyant tous ses locataires dans les chambres paires , il reste donc une infinité de places libres pour loger les nouveaux arrivant. Ce qui permet d’affirmer

Et en particulier, il y a autant d’éléments dans l’ensemble des nombres pairs que dans l’ensemble de tous les nombres.

Ce résultat est correct, mais il est normal de ne pas l’accepter tout de suite, il va à l’encontre de l’intuition. Pourtant il est fondé, contrairement à l’intuition, sur un raisonnement logique. La vidéo ci-dessous résume avec brio ce qui vient d’être dit :

A ce stade, on a réussi à faire rentrer dans l’hôtel un ensemble infini qui paraissaient plus grand. On pourrait faire la même chose avec un bus infini qui possède une infinité d’étages, et ainsi de suite avec plusieurs ensembles infinis. En fait, les ensembles infinis “qui rentrent dans l’hôtel” ou, en termes plus mathématiques, les ensemble infinis pour lesquels il existe une bijection avec l’ensemble des entiers sont des ensembles “dénombrables”.

Une fois l’infini dénombrable identifié et défini, il en suit automatiquement une autre question : existe-t-il d’autres types d’infinis? C’est la réponse à cette question qui constitue le résultat le plus connu de Cantor.

La bibliothèque de Babel

“La bibliothèque de Babel” est une nouvelle de Jorge Luis Borges. L’auteur y présente une bibliothèque dont l’une des caractéristiques est de contenir tous les livres pouvant exister. Plaçons-nous dans une telle bibliothèque et étendons les limites proposées par Borges (il ne considérait que des livres avec un nombre fini de pages). Imaginons que cette bibliothèque contient une infinité de livres qui chacun contiennent une infinité de pages. Comme Borges l’imagine, supposons alors que cette bibliothèque contient tous les textes possibles qu’ils soient lisibles ou non.

C’est-à-dire que quelque soit la suite (infini) de lettres ou “phrase” choisie :

on pourra trouver un livre de la bibliothèque qui lui correspond. Avec les exemples de l’hôtel de la partie précédente, on sait que l’on peut dénombrer les livres de la bibliothèque. On peut donc numéroter chacune des phrases infinies contenues dans chacun des livres de la bibliothèque :

Construisons alors la phrase constituée de la première lettre du premier livre 1, la deuxième du livre 2, la troisième du livre 3 et ainsi de suite (en gras ci dessous)…

On obtient la phrase qui commence par “auvoj…”. Maintenant, choisissons pour chaque lettre de cette phrase la suivante dans l’alphabet (si la lettre est un “z”, on choisira un “a”). La phrase obtenue commençant par “bvwpk…” ne peut pas être dans le livre 1, car la première lettre ne correspond pas, ne peut pas être dans le livre 2, car la deuxième lettre ne correspond pas, ne peut pas être dans le livre 3, car la troisième lettre ne correspond pas, etc. Cette phrase ne correspond à aucun livre que contient la bibliothèque!

La seule hypothèse que nous avons pourtant faite est que la bibliothèque de Babel contient toutes les phrases possibles, c’est donc cette hypothèse qui est fausse. L’ensemble de toutes les phrases possible est un infini plus grand encore que l’infini dénombrable de l’ensemble des livres de la bibliothèque de Babel.

L’argument de la diagonale utilisé ici a été trouvé par Cantor en 1874. Pour la première fois, on distinguait deux infinis, l’infini dénombrable et l’infini indénombrable.

L’infini dénombrable est celui de l’ensemble des entiers et de tous les ensembles en bijection avec celui-ci.
L’infini dit “continu” est celui de l’ensemble de toutes les phrases que l’on peut former ou encore celui de l’ensemble des nombres décimaux entre 0 et 1 ou encore l’ensemble des réels (c’est à dire l’ensemble des nombres décimaux avec une infinité de décimales).

Pour le lien entre l'ensemble des phrases et les décimaux entre 0 et 1 ou des réels, déplier!

Les phrases correspondent à des suites de caractères. Chaque caractère est défini dans un alphabet de n lettres (dans la langue française sans accents ni majuscules ni ponctuation, n=26). D’autre part, un nombre entre 0 et 1 peut s’écrire en commençant par “0,” puis en continuant avec des chiffres choisis parmi . Il correspond donc à un alphabet de 10 lettres.

On peut même amener l’ensemble des décimaux entre 0 et 1 (un segment) sur les réels (la droite). On va montrer ici comment associer les décimaux entre 0 et 1 sur la demi-droite positive. Une manière de faire est d’associer à chaque nombre x de son inverse . Cela amène le segment sur la demi-droite positive.

Cantor ne s’est pas arrêté là, il a montré qu’il existe d’autres infinis plus grands. En fait, il a donné une méthode pour, à partir d’un espace, construire un autre espace plus grand (n’étant pas en bijection). Cela permet de montrer qu’il y a en fait une infinité d’ensembles infinis plus grands les uns que les autres.

Sa méthode consiste à considérer “l’ensemble des parties” d’un ensemble. Prenons un exemple, l’ensemble qui contient les trois premiers entiers non nuls,

L’”ensemble des parties de E” contient tous les ensembles inclus dans E. Il contient donc

C’est à dire :

Les ensembles ne contenant qu’un seul élément comme
Les ensembles contenant deux éléments comme
Les ensembles contenant trois éléments soit E
L’ensemble vide noté . Celui là est plus compliqué que les autres et pourrait être l’objet de nombreuses discussions… Pour le sujet qui nous interresse, il suffit de comprendre qu’il est inclus dans tous les ensemble et qu’il ne contient aucun élément. Si l’on imagine que l’ensemble E est un groupe de personnes (disons les membres de la même équipe de football), alors l’ensemble des parties de E correspond à la liste de tous les groupes de personnes différents que l’on peut créer (y compris celui ne contenant personne!).

De l’ensemble à trois éléments E, on passe donc à huit éléments pour l’”ensemble des parties de E”. On peut en fait démonter que si un ensemble fini contient éléments, l’ensemble de ses parties en contient . On remarque donc que dans le cas des ensembles de taille finies, l’ensemble des parties de E contient toujours plus d’éléments que E lui-même.

Cantor a démontré que cela se généralise aux ensembles de taille infinie. Ce résultat a même pris son nom, c’est le Théorème de Cantor. Sa démonstration n’est encore une fois pas compliquée à comprendre mais un peu plus à accepter.
Etant un peu plus technique, je laisse les plus courageux cliquer ici pour dérouler cette démonstration.

Pour démontrer que l’ensemble des parties de E, que nous noterons maintenant P(E) ne peut pas être mis en bijection avec E, on va encore une fois raisonner par l’absurde en supposant que cela est possible.

Si ces deux ensembles peuvent être mis en bijection, alors il existe une bijection b qui à chaque élément de E associe un élément de P(E). C’est à dire, en gardant l’image de l’équipe de foot, qui à chaque individus associe un groupe de membres de l’équipe. Il peut alors se passer deux choses pour un membre de l’équipe donné :

soit il fait parti du groupe qui lui est associé par la bijection
soit il ne fait pas parti du groupe qui lui est associé par la bijection

Cantor propose alors de définir l’ensemble D des personnes qui ne sont pas dans le groupe qui leur est associé par la bijection. Mathématiquement, on le noterai

littéralement : l’ensemble des éléments x de E tels que x n’appartient pas à b(x). Ou encore, avec l’équipe de foot, les membres de l’équipe qui ne sont pas dans le groupe qui leur est associé par la bijection. D est un groupe de membres de l’équipe de foot, donc en toute logique, on doit pouvoir trouver un membre de l’équipe, que l’on appelera y a qui on associe D par la bijection, c’est à dire tel que . Or :

Soit y est dans D, alors y n’appartient pas à donc il n’appartient pas à D.
Soit y n’est pas dans D, alors par définition y appartient à , donc il appartient à D!

D’où la contradiction! Très proche d’un paradoxe présenté par Russel, cette démonstration n’est pas des plus simples à accepter.

Le résultat du théorème de Cantor donne donc une méthode pour construire à partir d’un ensemble E un ensemble strictement plus grand P(E) et prouve donc qu’il existe une infinité d”infinis!

Ces démonstrations sur les infinis vont à l’encontre de l’intuition, mais sont parfaitement logiques. Les mathématiciens de l’époque ont été très perturbés et certains ont même cherché à bannir l’infini des mathématiques, mais la démonstration était là et était rigoureuse. Cantor lui-même, venant de démontrer un résultat similaire envoie un courrier célèbre à Dedekind, un de ses collègues avec qui il partageait ses résultats :

Tant que vous ne m’aurez pas approuvé, je ne puis que dire : je le vois, mais je ne le crois pas.

en d’autres termes, sa démonstration a prouvé le résultat, mais son esprit ne l’accepte pas encore.

Le problème irrésolu de Cantor

Après avoir montré que l’infini des réels était plus grand que l’infini des entiers, Cantor s’est demandé s’il existait des espaces entre ces deux infinis : avec strictement plus d’éléments que l’ensemble des entiers, mais moins que l’ensemble des réels. Il était convaincu qu’il n’existait aucun espace entre les entiers et les réels, cette hypothèse s’appelle “l’hypothèse du continu”. La démonstration de cette hypothèse l’occupa jusqu’à la fin de sa vie et ce n’est que 20 années après sa mort que tomba le résultat, l’hypothèse du continu est “indécidable”.

Une proposition indécidable (ou indépendante) est une proposition dont on ne peut ni montrer qu’elle est vraie ni montrer qu’elle est fausse. L’exemple le plus célèbre de proposition indécidable est l’axiome des parallèles d’Euclide :

Par un point extérieur à une droite, on ne peut tracer qu’une seule droite parallèle

Dans son livre “Les Elements”, Euclide pose les bases de sa géométrie, les axiomes. Les axiomes sont des hypothèses admises du type “tous les angles droits sont égaux” ou encore “entre deux points on peut toujours tracer un segment”. Le 12e axiome d’Euclide, énoncé ci-dessus, paraît beaucoup plus complexe que les autres. Beaucoup de mathématiciens se sont donc demandé si on ne pouvait pas le démontrer grâce aux onze autres. Il a été montré qu’il était indécidable et on peut l’illustrer en présentant un exemple où cet axiome est faux (alors que les 11 autres restent vrais).

Sur une sphère (la terre par exemple), les “droites” sont les cercles qui ont pour diamètre le diamètre de la sphère. Sur le dessin ci dessous (trouvé sur Wikipedia) par exemple M et D sont deux “droites”

Deux droites parallèles sont définies par Euclide comme deux droites qui ne s’interserctent jamais. Sur la sphère pour un point extérieur à une droite il n’existe aucune droite parallèle. Toutes les droites étant des grands cercles (du diamètre de la sphère), elles s’intersectent nécessairement en au moins deux points. Cantor avait passé la fin de sa vie à essayer de démontrer une proposition qu’on ne pouvait démontrer.

Pour en savoir plus :
- CANTOR de Jean-Pierre Belna : Livre dont je me suis beaucoup servi, mais dont je déconseille la lecture à quelqu’un qui n’a pas l’habitude de lire des mathématiques, il n’est pas très pédagogique.
- Gödel Escher et Bach de hofstadter : Un livre immense, mais passionnant et accessible pour tout le monde. Il contient un petit passage sur la diagonale de Cantor
- “The Infinite Book” ou “Une brève histoire de l’infini” de Barrow : en anglais, mais très accessible et très intéressant si le sujet de l’infini vous intéresse.
- Gödel de Pierre Cassou-Noguès : c’est dans ce livre où j’ai trouvé l’idée d’utiliser la bibliothèque de Babel pour montrer que l’infini continu et dénombrable n’avaient pas la même taille.
- Six Books of Euclid de Byrne aux éditions Taschen : Le livre d’Euclide où il définit les éléments et présente les axiomes nécessaires à sa géométrie. La particularité de cette édition est d’avoir remplacé toutes les variables par des couleurs. Ceci simplifie la lecture et en fait un très bel objet.
- La villa des hommes de Denis Guedj : Je ne l’ai pas encore lu, mais il m’a été conseillé. C’est une fiction très largement inspirée de la vie de Cantor.

Un merci à Robin pour les discussions que nous avons eu sur ce sujet!

Et pour accéder directement aux livres cités sur Amazon, c’est ici :

(Seuls les dossiers sont pris en compte dans le classement)

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