L’infiniment petit

On 29.09.2013, in Dossiers, by Robin
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« Que l’homme contemple donc la nature entière dans sa haute et pleine majesté (…), que la terre lui paraisse comme un point au prix du vaste tour que cet astre décrit et qu’il s’étonne de ce que ce vaste tour lui-même n’est qu’une pointe très délicate à l’égard de celui que les astres qui roulent dans le firmament embrassent. Mais si notre vue s’arrête là, que l’imagination passe outre; elle se lassera plutôt de concevoir, que la nature de fournir. Tout ce monde visible n’est qu’un trait imperceptible dans l’ample sein de la nature. Nulle idée n’en approche. Nous avons beau enfler nos conceptions au-delà des espaces imaginables, nous n’enfantons que des atomes, au prix de la réalité des choses. C’est une sphère dont le centre est partout, la circonférence nulle part.(…)
Mais pour lui présenter un autre prodige aussi étonnant, qu’il recherche dans ce qu’il connaît les choses les plus délicates. Qu’un ciron lui offre dans la petitesse de son corps des parties incomparablement plus petites, des jambes avec des jointures, des veines dans ces jambes, du sang dans ces veines, des humeurs dans ce sang, des gouttes dans ces humeurs, des vapeurs dans ces gouttes; que, divisant encore ces dernières choses, il épuise ses forces en ces conceptions, et que le dernier objet où il peut arriver soit maintenant celui de notre discours; il pensera peut-être que c’est là l’extrême petitesse de la nature. Je veux lui faire voir là dedans un abîme nouveau. Je lui veux peindre non seulement l’univers visible, mais l’immensité qu’on peut concevoir de la nature, dans l’enceinte de ce raccourci d’atome. Qu’il y voie une infinité d’univers, dont chacun a son firmament, ses planètes, sa terre, en la même proportion que le monde visible; dans cette terre, des animaux, et enfin des cirons, dans lesquels il retrouvera ce que les premiers ont donné; et trouvant encore dans les autres la même chose sans fin et sans repos, qu’il se perde dans ses merveilles, aussi étonnantes dans leur petitesse que les autres par leur étendue »

Les pensées de Pascal

Pour démarrer, une première remarque : Ni Nico ni moi ne sommes les premiers à être tatillons sur l’usage du mot « infini » hors contexte mathématique. Pour preuve ce texte hyper connu de Pascal sur les deux infinis, ou encore Archimède lui-même : histoire de montrer à tout le monde qu’il n’y avait pas d’infini dans ce bas monde, il a fait une estimation (haute), du nombre de grains de sable que l’on pourrait caser dans l’univers. Bon, évidemment, on ne ferait plus le calcul comme lui en mettant la terre au centre d’une sphère où sont collées les étoiles. Mais l’idée est là : il y a des nombres gigantesques, des tailles minuscules, sans que tout cela ait un rapport quelconque avec l’infini. Un grain de sable, un atome, ou n’importe quel objet physique a une certaine taille. Il est donc bien impossible d’en mettre une infinité dans un espace fini, même très grand.

sable.33.39Beaucoup de grains de sables très petits.

À l’inverse, sur un segment, objet fini, on case… une infinité de points ! Si vous n’en êtes pas convaincus, deux petites questions :
Qu’obtient-on quand on coupe un segment en deux ? En principe, deux segments, plus petits.
Pouvez-vous imaginer un segment que l’on ne peut pas couper en deux ? À l’inverse de la dernière part de gâteau que tout le monde coupe et recoupe en deux pour ne pas être celui qui finit, et qui termine en miette que l’on ne coupera pas, un segment si petit soit-il peut toujours être coupé en deux. Là encore, si vous êtes dubitatifs (et ce n’est pas cochon), il est relativement simple de se convaincre : un segment, c’est une certaine longueur, donc un certain nombre qui ne vaut pas 0. Et on peut toujours diviser un nombre par deux, s’il n’est pas nul, on ne tombera pas sur zéro, mais sur un nombre positif : la longueur des deux segments obtenus.

infinite_points

On peut toujours couper un segment en deux, et le résultat aussi… Il y a bien une infinité de points sur le segment AB

Résumons : on peut toujours couper un segment en deux ; le résultat est deux segments. Que l’on peut donc à nouveau couper en deux. Et il n’y a pas de raison que ça s’arrête. Or chaque coupe est faite sur un point. Il y a donc bien une infinité de points sur un segment, qui est pourtant d’une longueur finie. Syncope chez les physiciens.

syncope Physicien découvrant un segment mathématique

La question est donc posée : qu’est ce qu’un point ? Si ce que l’on obtient en coupant toujours des morceaux plus petit, ce sont toujours des segments d’une certaine taille, aucun n’est candidat pour être « infiniment petit ». Que pourrait donc bien vouloir dire l’infiniment petit ? Si c’est quelque chose, ça devrait avoir une certaine taille ? Or là, il semble que si l’on rajoute un point à un segment, ça ne change pas la longueur de celui-ci… J’en parle de façon mathématique, mais on peut bien sûr en parler de façon « physique » : de même qu’il est compliqué de penser un univers fini, car il y aurait une frontière, et donc quoi derrière la frontière (bon, la réponse actuelle est qu’il peut très bien être fini sans frontière, car tordu dans une 4ème dimension…), il est tout aussi difficile de penser quelque chose comme « le plus petit possible » : qu’y aurait-il dedans ?

Il est temps de ressortir le vieux Zénon : on oublie souvent qu’il n’a pas qu’un paradoxe à son arc… Le plus connu, raconté avec Achille et la tortue, ou avec une pierre qu’on jette vers un mur, s’oppose à cette vision continuiste du monde : si on peut toujours couper en deux une durée ou un espace, alors Achille ne rattrapera jamais la tortue, une pierre lancée contre un mur ne l’atteindra jamais (elle ne quittera même jamais la main de la personne qui la lance) car il faut passer par une infinité d’étapes (voir l’illustration plus haut de l’infinité de points sur un segment)

D’autres paradoxes s’opposaient à la vision concurrente proposée à l’époque : l’« atomisme ». Certains penseurs grecs pensaient en effet que le monde était fait d’atomes, pas au sens actuel, mais au sens de « plus petit élément », que l’on ne peut pas casser, et avec du vide entre eux.
Contre la vision atomiste, Zénon propose entre autres le paradoxe de la flèche : si le temps est constitué d’atomes, alors on peut considérer la flèche à un instant donné. Or à un instant donné, la flèche est immobile, à un endroit précis. Sa vitesse est donc nulle. Elle ne peut donc pas bouger…
Il faut bien dire qu’effectivement, réussir à donner un sens à la notion de « vitesse instantanée » est bien délicat. En gros, on voudrait dire que c’est un instant « un peu épais », ou un intervalle de temps vraiment très très court.
On ne sort pas de là : si on ne peut pas couper un infiniment petit, c’est un point. Sinon, il a une certaine taille, et n’a donc rien d’infiniment petit.
La notion de « point » en géométrie classique fait le premier choix : un tel point n’a donc pas de largeur, pas de longueur, pas d’épaisseur. La définition proposée par Euclide reprend bien les termes du problème : « un point est ce qui n’a pas de partie », autrement dit ce qu’on ne peut pas couper en deux. L’une des conséquence les plus fâcheuses pour l’intuition est sans doute qu’il y a autant de points sur deux segments de taille différente, et même sur une droite. Il est relativement simple de s’en convaincre, par exemple pour deux segments : placez les parallèlement, l’un au dessus de l’autre.

autant_de_points On relie a à A et b à B, et on obtient O. Toute demi-droite partant de O indique à tout point du segment du haut, (ici M) à qui il doit serrer la main en bas (ici N) et réciproquement. Il y a donc autant de monde en haut et en bas…

Reliez les extrémités les unes aux autres. Le point obtenu permet d’« envoyer » chaque point de l’un des segment sur l’autre, et vice versa. On a donc une correspondance entre chaque point de l’un des segments et chaque point de l’autre. Comme si chaque point de l’un serrait la main d’un point de l’autre. Et pourtant, il n’y a pas de points plus tassés d’un côté que de l’autre, ni de point plus gros ou plus petit… Arrangez-vous avec ça.

On peut reprendre la perplexité de d’Alembert :

« Une quantité est quelque chose ou rien (…). L’idée qu’il puisse y avoir un état intermédiaire entre ces deux est une chimère »

Leibniz, lui, ne semble pas plus perturbé que ça, même s’il n’est pas très très clair :

« Je juge d’ailleurs que deux termes sont égaux non seulement lorsque leur différence est absolument nulle, mais aussi lorsqu’elle est incomparablement petite, et bien qu’on ne puisse dire en ce cas que cette différence soit absolument Rien, elle n’est pourtant pas une quantité comparable à celles dont elle est la différence. Ajoutons à une ligne un point d’une autre ligne, ou une ligne à une surface, nous n’accroissons pas leur grandeur. Il en va de même si nous ajoutons à une ligne une autre ligne mais incomparablement plus petite. Aucune construction ne peut montrer non plus un tel accroissement. »

Bon bon bon… C’est limpide, c’est un truc vraiment très petit ;-)

Mais pourquoi donc s’acharner sur ces objets qui sont si malaisé à appréhender ? Parce qu’on en a besoin, au moins pour l’intuition, notamment en math et en physique.
Premier exemple : les formes courbes. Comment donner un sens à une longueur, une surface ou un volume courbe ? A priori, ce que l’on sait faire sans réfléchir, c’est calculer des longueurs droites (le théorème de Thalès et celui de Pythagore par exemple le permettent dans bien des situations), des surfaces de polygones (tout polygone peut se découper en petits triangles, et on sait calculer la surface d’un triangle), mais dès qu’il y a courbe, à commencer bien sûr par le cercle, c’est la panique : on ne sait pas faire. (et ce problème a d’ailleurs occupé et continue d’occuper, d’une manière ou d’une autre, une bonne partie des mathématiciens, mais pas pour le cercle, quand même !)

Pourtant, en réfléchissant deux minutes, on se rend bien compte qu’une courbe, c’est un peu comme plein de toute petites lignes droites (nous parlons là de courbes « gentilles », pas d’horreurs comme les fractales). Nico a par exemple bien décrit, dans son dossier, la méthode utilisée par Archimède pour calculer le périmètre d’un cercle : il calcule le périmètre de polygones extérieurs et intérieurs au cercles ; plus ces polygones ont des côtés petits, plus ils se rapprochent du cercle.

archimede_pi La méthode d’Archimède : on coince un truc rond entre deux suites de polygones. Et on évite bien de dire qu’on continue jusqu’à ce que les côtés soient « infiniment petits »…

Un grec de l’Antiquité aurait certainement hurlé en entendant cette phrase, mais en gros on « sent » qu’un cercle, c’est un polygone avec une infinité de côté infiniment petits. Oui mais bon, on a vu que ça ne voulait pas dire grand chose…

Les physiciens, quant à eux, auraient bien envie de savoir ce que veut dire une vitesse instantanée, par exemple. Une vitesse moyenne, on voit bien : on prend la distance parcourue pendant un certain temps, par exemple 30 mètres en dix secondes, et on dit que la flèche s’est déplacée à une vitesse moyenne de 3 mètres par seconde. Mais elle ne va pas toujours à la même vitesse. Et dans bien des situations, les physiciens seraient content de pouvoir dire : « à cet instant, la flèche va à telle vitesse ».

Pour s’en sortir, on peut botter en touche. Voilà un petit florilège d’évitements des infiniment petits :

3singes Un infiniment petit ? Où ça ?

Pour démontrer qu’une surface a telle grandeur, Archimède la coince donc entre deux suites de polygones dont on sait calculer les surfaces. et pour lesquels on démontre que la différence entre les deux surfaces peut être rendue plus petite que n’importe quel nombre donné ; on passe ensuite par un raisonnement par l’absurde pour conclure : la surface qui nous intéresse ne peut pas être plus grande que l’un des polygones plus grand, ou plus petite que l’un des plus petits. Donc elle vaut bien la valeur que l’on attend. Ouf !

L’idée de la théorie de l’intégration, datant du 19ème siècle, est à peu près la même, juste mise en forme rigoureuse. Elle permet de calculer de façon bien plus efficace et dans des situations bien plus variées des objets courbes. L’idée principale est celle de limite : on approche une courbe avec des rectangles, en faisant donc des « escaliers ». Puis on « fait tendre » la taille des marches vers 0. jamais on ne parle donc d’un infiniment petit. Pour ce qui est de la vitesse instantanée, c’est la limite de la vitesse moyenne quand l’intervalle de temps tend vers 0… On s’en sort donc avec des points et des limites, pas d’infiniment petit en vue.

Entre deux, au XVIIe siècle, Cavalieri, lui, est parti d’une vision plus intuitive : il paraît naturel de dire qu’un volume est un empilement de plans, une surface un empilement de lignes, et une ligne une succession de points. Et en même temps, c’est gênant, puisque si un point n’a pas de dimension, on n’obtiendra jamais un segment même en en mettant une infinité. De même, on n’obtiendra jamais une surface en empilant des lignes qui n’ont pas de largeur, ou un volume avec des surfaces sans épaisseur.

Mais Cavalieri sait rester prudent : Tout ce qu’il dit, c’est que si deux surfaces sont prises entre deux droites parallèles, et qu’à toute « hauteur » choisie, les deux « tranches » obtenues dans les deux surfaces sont de même longueur (ou toujours dans le même rapport), alors ces deux surfaces sont égales (ou on déduit l’une de l’autre par une règle de trois). Cette méthode fonctionne bien entendu également avec des volumes coincés entre deux plans parallèles. Pour prendre une image peut-être plus concrète, prenez deux paquets de cartes identiques, et posez les côte à côte sur une table. Donnez aux paquets la forme que vous le voulez, en laissant bien les cartes empilées l’une sur l’autre (vous pouvez faire des »vagues » sur le côté, une spirale comme les pros du poker ou les magiciens…). En coupant par des plans horizontaux, vous rencontrerez dans chaque paquet, à chaque hauteur, une même surface : celle d’une carte. Cela nous assure, dit Cavalieri, que ces deux paquets ont un même volume.

indivisible_piecesici, l’idée avec des pièces : le « cylindre » de gauche a le même volume que le truc tarabiscoté de droite.

Pour un exemple détaillé de la méthode de Cavalieri :

et un autre là

Évidemment, ça ne marche pas avec des cartes ou des pièces, puisqu’il y a des « marches » à chaque étage.

Cette méthode, quoi qu’efficace, a été très critiquée. Notamment parce qu’on ne sait pas bien ce que sont ces indivisibles… additionnant des lignes, on obtient une surface, et en additionnant des surfaces, on obtient des lignes. Certains tenant de la méthode se sont défendus : il ne s’agit pas vraiment de lignes, mais de rectangles très très fins. On y revient… Sauf que s’il s’agit réellement de rectangles, alors ça ne marche pas.
Autre critique : pourquoi ça ne marche que quand les « indivisibles » sont parallèles ? Dans d’autres cas, les contre exemples foisonnent.

indivisible_foireux Exemple d’indivisibles qui tournent mal : il semblerait qu’il y en a autant horizontaux et verticaux. Il est clair que les horizontaux sont plus longs que les verticaux. Donc le triangle ACD devrait être plus grand que ABC. Or il a également la même surface ! Où est l’arnaque ?

Râclements de gorges chez les tenants des indivisibles : « Oui non mais… En fait, il y a des indivisibles « plus gros » que d’autres… »
Bon, en gros, la méthode a l’air de marcher, mais elle demande d’admettre des indivisibles dont personne ne sait vraiment ce qu’ils sont.

Passons maintenant à ceux qui osent se lancer :
Pascal ou Roberval, par exemple, soutiennent les indivisibles, considèrent qu’ils ont une véritable existence.
Pascal :

« Et c’est pourquoi je ne ferai aucune difficulté dans la suite d’user de ce langage des indivisibles, la somme des lignes ou la somme des plans (…) [ceux] qui s’imaginent que c’est pécher contre la géométrie que d’exprimer un plan par un nombre indéfini de lignes ; ce qui ne vient que de leur manque d’intelligence, puisqu’on n’entend autre chose par là sinon la somme d’un nombre indéfini de rectangles faits de chaque ordonnée avec chacune des petites portions égales (…), dont la somme est certainement un plan, qui ne diffère de l’espace [recherché](…) que d’une quantité moindre qu’aucune donnée. »

Roberval va lui jusqu’à dire que les indivisibles existent dans le monde réel, ce qui lui vaudra quelques problèmes avec la religion… On ne contredit pas Aristote comme ça. Pour lui en tous cas, les indivisibles d’une surface sont forcément des surfaces : il y a sinon un problème d’« homogénéité ». De même qu’on n’obtient pas des carottes en additionnant des choux, on ne peut pas obtenir une surface en additionnant des longueurs. (Petite parenthèse histoire de se perturber un peu : l’avenir dira que c’est un peu plus compliqué que ça, puisque Peano a trouvé début XXe siècle une courbe (certes de longueur infinie) qui rempli littéralement un carré… Pourtant la ligne est « infiniment fine », elle n’a pas de largeur !)

Bref, c’est un peu foutraque.

Un peu plus tard, les débuts du « calcul infinitésimal » va reprendre cette idée de façon beaucoup plus barbare encore. Newton et Leibniz sont les deux « inventeurs » de cette méthode permettant de résoudre des problèmes posés depuis l’Antiquité.

En gros, ils introduisent la notion de « dx », qui signifie intuitivement « juste après » ou « presque rien ». Or le point ou l’instant d’après, je ne vous apprend plus rien, ça ne veut rien dire, bien sûr. On ne peut voir le continu comme une série d’instants… Mais la méthode marche, et permet notamment de donner un sens à « vitesse instantanée ». Et ça, quand une méthode marche… Il n’y a généralement plus personne pour la rejeter.

Mais quand même, cette époque est hallucinante : On fait absolument n’importe quoi, on divise des infinitésimaux par des infinitésimaux, et on donne un résultat (ce qui revient à donner un résultat à 0/0 !?!?) On décrète que les infinitésimaux ne sont pas tous de la même nature, que certains sont négligeables par rapport à d’autres…
Revenons à Leibniz, pour la suite de l’explication limpide vue plus haut :

« Je considère que seules sont comparables des grandeurs homogènes, dont le produit de l’une par un nombre, un nombre fini s’entend, peut surpasser l’autre. Je pose donc que des grandeurs dont la différence n’est pas de cette nature sont égales, comme l’admit également Archimède et tout le monde après lui. C’est précisément dans ce cas qu’on dit qu’une différence est plus petite que toute grandeur donnée. Le procédé d’Archimède permet toujours de le confirmer au moyen d’un raisonnement par l’absurde. Toutefois, comme la méthode directe est plus immédiatement compréhensible et plus expédiente pour inventer, il suffit, une fois qu’on a compris cette démonstration régressive, d’appliquer la méthode directe consistant à négliger les quantités incomparablement plus petites, méthode qui porte en elle-même sa propre justification conformément aux lemmes que j’ai publiés en févier 1689. Rejeter pareille définition de l’égalité, c’est faire une querelle de mots. »

L’idée de base est exactement la même que depuis l’Antiquité, sauf qu’on se permet d’écrire directement que l’on fait la somme de tous les infinitésimaux. Fini les précautions de toute sortes. Les Grecs de l’Antiquité auraient déjà eu du mal à accepter qu’on puisse faire une somme avec une infinité de terme (comme la fameuse somme 1 + ½ + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … qui vaut 2, pour résoudre l’un des paradoxe de Zénon), mais là on fait carrément une somme sur tous les points d’un segment, voire d’une droite, bref, sur un truc continu !

On trouve un élément essentiel dans ce texte, qui commence à donner une idée de propriété de ce que sont les infiniment petits : si on veut qu’ils soient tels que nous les voulons, il faut que, multipliés par n’importe quel nombre, ils restent plus petits que n’importe quel nombre. Cela s’oppose à un axiome sur les nombres, proposé par Eudoxe dans l’Antiquité : si on prend deux nombres quelconques, A et B, A plus petit B. Alors il existe un nombre n tel que n x A est plus grand que B. S’il avait trouvé nécessaire de le donner, c’est qu’il sentait bien que ce n’était pas forcément évident… à cause de notre intuition des infiniment petits.

Pour les plus attentifs du podcast, particulièrement attentifs aux maths, vous devez vous souvenir d’une note d’El jj lue par Nico ici présentant une construction de nombres « surréels » qui ne vérifiaient effectivement pas cet axiome. Plusieurs constructions rigoureuses de ce type existent, l’une des plus connues étant l’« analyse non standard », qui a pris son essor dans les années 60. L’idée est toujours la même : rajouter des nombres aux nombres réels.

Pour résumer, il existe donc des nombres « standards », ceux auxquels nous sommes plus ou moins habitués. Et puis, on définit (proprement, ce n’est pas si simple, je ne rentre pas dans les détails) des nombres qui sont plus grands que n’importe quel nombre standard : des infiniment grands. Il y en a bien sûr une infinité. Et il y a toujours un nombre infiniment grand plus petit qu’un nombre infiniment grand donné, on peut imaginer une suite infinie de nombres infiniment grands de plus en plus petits tous plus grand que tous les nombres « standards ». Arrangez-vous avec ça.

Évidemment, à l’autre bout, il y a les infiniment petits, (enfin !) ceux qui sont plus proches de 0 que n’importe quel nombre standard. L’inverse d’un infiniment grand est bien entendu un infiniment petit, et vice versa. Notez que l’on n’est toujours pas capable de donner un sens à des expressions comme : « le point juste après un autre ». Il y a toujours une infinité de points entre deux points… Et les points sont toujours aussi tassés sur un segment.
Pour voir les choses de façon géométrique, le résultat est une droite couverte de « halos » plutôt que de points : un halo est un nombre réel standard, et tous les nombres qui lui sont infiniment proche, soit ce nombre plus ou moins un nombre infiniment petit. Un exemple : 0,3333…333, pour peu que l’on ai mis un nombre infiniment grand de 3, est infiniment proche de 1/3 et fait donc partie de son « halo ».

Il n’est pas sûr que ce monde soit beaucoup plus intuitif que l’autre, surtout quand on n’y est pas habitué ! Reste qu’effectivement, on dispose enfin d’infiniment petits. Certaines choses s’écrivent alors de façon beaucoup plus simple. Prenons un exemple bête : la continuité. Intuitivement, une courbe est continue si on peut la tracer d’un coup de crayon sans interruption. Une petite « histoire pour tenter d’expliquer un peu mieux le changement de formulation que permettent les infiniment petits :

Un marcheur part à 8h de chez lui, et arrive dans la ville voisine à 12h. Il peut à tout moment s’arrêter, faire demi-tour, accélérer… Savoir si son trajet est continu revient simplement à savoir s’il existe un moment où il s’est téléporté ou non. La façon de voir « classique » est de dire : si son trajet est continu à 10h (c’est à dire qu’il ne s’est pas téléporté à 10h), alors quelle que soit la distance que vous m’imposez, je peux trouver un intervalle de temps pendant lequel il n’était pas plus loin que cette distance du point où il se trouvait à 10h.
La version « Analyse non Standard » : pour tout instant infiniment proche de 10h, il était infiniment proche du lieu où il se trouvait à 10h.

Les deux façons de faire sont rigoureusement équivalentes, la seule différence est qu’on n’utilise pas les mêmes outils pour décrire une même propriété.

Les tenants de l’ANS disent que c’est plus intuitif, que les physiciens réfléchissent tous comme ça, et que c’est donc une bonne idée de leur fournir un tel outil, qui permettra de trouver de nouveaux résultats.

Les opposants disent que certes ça fonctionne, mais que ça n’apporte rien de nouveau. Donc à quoi bon

Certains vont même plus loin, et proposent donc d’autres modèles qui conviendraient mieux aux physiciens contemporains, qui ne s’occupent plus tellement de mécanique élémentaire, mais plutôt de physique quantique ou de trucs comme ça, où les choses se passent encore très différemment. J’avoue que je me sens assez incompétent pour prendre position !

Pour terminer, d’autres notions qui peuvent d’une manière ou d’une autre évoquer une forme « d’infiniment petit » :
La notion de « négligeable », par exemple, est bien utile dans et hors des maths. On arrive à justifier rigoureusement que certaines quantités sont tellement petites qu’on a le droit de les négliger quand les conditions sont réunies. Ce qui permet par exemple de dire que quand l’angle est petit, le sinus de cet angle vaut presque la même chose que la valeur de cet angle, avec la bonne unité.

La notion de « mesure » permet également de parler d’objets infiniment petits. En gros, on a mis au point des méthode permettant de mesurer un ensemble de points. Prenons le cas le plus simple : dans le cas d’un segment, sa mesure vaudra sa longueur. La mesure d’un point vaudra donc 0. Mais également la mesure de deux points, de trois, de… Jusqu’à combien ? En fait, on sait qu’il existe des ensemble de points « aussi gros » que l’ensemble des points de toute la droite qui ont une mesure de …0. Ce qui signifie qu’il n’y a pas que la quantité qui compte, l’essentiel est dans l’arrangement des points… Et qu’on peut considérer comme infiniment petit un ensemble très gros ! (sur des ensembles de mesure nulle, voir mon dossier sur le hasard)

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Aux origines de zéro

On 21.10.2012, in Dossiers, by Nicotupe
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Dans ce dossier, nous allons raconter la longue histoire de la découverte d’un nombre. Un simple nombre qui pourtant a tout changé et permet aujourd’hui l’existence des plus grandes théories (mle grand saut desais ça, nous le verrons la semaine prochaine). Eh oui, après vous avoir parlé de l’infini, de pi, aujourd’hui on s’attaque au zéro!

La vie sans rien

Mais avant de parler du zéro lui même, nous allons un peu parler du temps où l’on vivait sans cet étrange nombre. On a peu de traces avant l’apparition de l’écriture, pour autant, on peut avoir des indices sur l’existence sans le nul en observant notre vie contemporaine. On se rend alors vite compte que l’on n’a pas vraiment besoin de lui dans notre vie de tous les jours : personne n’a besoin d’aller acheter zéro baguettes, d’inviter zéro amis à une soirée ou de passer zéro secondes sur un travail (surtout ce dernier point, qui est un sous-entendu universel de l’humanité procrastinatrice). Ou plus précisément, on peut en avoir le besoin mais alors on a pas besoin de l’exprimer : je ne vais pas lister tous les produits dont j’ai besoin sur une liste en mettant un zéro dessus!


En fait, à l’aube des temps humains, les gens faisaient apparement seulement la distinction entre un et beaucoup. On était capable de dire s’il y avait un arbre. Et s’il y en avait plus, il y en avait tout de suite beaucoup. Remarquons que cela aussi est peu différent aujourd’hui, du moins sans compter, tant qu’il y a 4–5 objets, on est capable de tout de suite dire leur nombre et ensuite il y en a “beaucoup” (faites le test chez vous, ça marche!).

Les hommes réussissaient quand même à différentier les groupes, en utilisant la bijection! Comme on l’a vu dans le dossier sur l’infini, en plaçant sur le sol un caillou à chaque objet que l’on voit, on peut savoir qu’il y a plus d’éléments dans un groupe qu’un autre sans compter. Mais pour y arriver sans bijection et de manière absolue, il faut savoir compter… Et donc les hommes se sont mis à compter justement. Et comme il ne savaient pas forcément encore écrire, ils utilisaient ce qu’ils avaient de plus facilement disponible : les parties de leur corps!  L’évolution, la selection génétique et beaucoup de hasard nous ont amenés à avoir 5 doigts sur chaque main et pied. On pouvait alors facilement compter jusqu’à 5 et quand il fallait plus, on donne un nom au 5 et on pouvait recommencer à 1, histoire de pouvoir continuer à compter avec les parties de son corps :

1,2,3,4,5,5 et 1,5 et 2, 5 et 3, etc.

Et il suffisait d’avoir un nouveau mot pour 10, 15, 20, 25, etc. pour pouvoir compter autant qu’on voulait.

C’est ce qu’on appelle compter en base 5! Et hasard de l’anatomie, 5 est justement la base préférée des hommes quelle que soit la culture. Il y avait d’autres bases aussi, le plus souvent liées à une partie de notre corps : 5, 10 (deux mains), 20 (mains et pieds) et… 60 qu’utilisaient les Babyloniens!

Remarquez que ces systèmes de numérotations ressemblent beaucoup au système romain (même s’il est postérieur), que l’on connait tous.

Avec ces systèmes, les gens pouvaient compter. Pour autant, ces systèmes n’avaient pas de zéro; ce concept n’existait tout simplement pas! Pour dire qu’on a zéro baguette, il suffit de dire “nous n’avons pas de baguettes”, aucun besoin de créer un nombre pour exprimer le manque de quelque chose! Les gens vécurent longtemps sans zéro car ils n’en avaient pas besoin. Et dans les esprits de cette époque, il aurait été bien saugrenu de créer un symbole pour représenter ce rien.

Un rien facilite le comptage

Les Grecs, les Egyptiens et la plupart des peuples anciens avaient des systèmes plus ou moins sophistiqués mais tous basés sur cette même idée. Le peuple qui a vraiment révolutionné la numérotation (tout comme il révolutionna bien d’autres choses) sont les Babyloniens.

Les Babyloniens représentaient les chiffres comme s’ils dessinaient symboliquement un abaque. Chaque groupe de symboles représentait le nombre de pierre qu’on avait déplacé sur l’abaque. La véritable nouveauté de ce système est que, comme le nôtre, il fonctionnait par colonnes. L’unité babylonienne ressemble à un Y ou à un clou. Quand un Babylonien écrivait YYY, le premier symbole représentait les “centaines”, le second les “dizaines” et le troisième les “unités”. Si je met ici des guillemets c’est que les Babyloniens ne comptaient pas comme nous, mais en base 60. Ainsi, le premier Y représentait en fait 3600, le second 60 et le troisième 1. Comme nous écrivons 123 pour dire en fait 1×100+2×10+3, les Babyloniens écrivaient YYY pour dire 1×3600+1×60+1.

Reste qu’aussi ingénieux soit-il, ce système présentait un problème de taille. Le nombre YY pouvait aussi bien vouloir dire 3601 que 3660 ou encore 61. En effet, si l’un des chiffres de la décomposition dans la base ne présentait pas d’éléments, les Babyloniens se contentaient de laisser un espace. Il était alors très difficile de différencier les chiffres avec précision. A la recherche d’une solution pour palier ce problème, les Babyloniens ont inventé le zéro! A cette époque, il n’est pas encore un nombre, il se contente seulement d’être la représentation d’un espace, un rien mais qui permet déjà de lever toute ambiguité sur le système de numérotation. C’est autour de 300 avjc que les Babyloniens ont commencé à utilisé cet espèce de Y penché pour le zéro.

Reste que ce zéro là n’était pas un nombre, c’était juste un espace dans le système de numérotation, une ponctuation des mathématiques, en somme. Les Babyloniens auraient par exemple été bien incapable de le classer parmi les autres nombres et l’auraient peut être amené à la droite du 9 comme sur nos claviers, les malheureux! Les Babyloniens n’étaient pas les seuls à utiliser un système de numérotation où les chiffres étaient sur des colones, les Mayas aussi. Et eux choisirent justement de commencer à compter à partir de zéro. Reste qu’à cette époque, zéro n’est pas encore réellement un nombre ou du moins on n’a pas retrouvé d’utilisation mathématique.

Le vertige des Grecs

Les grecs détestaient le zéro. Ils avaient pourtant connaissance du système babylonien qu’ils utilisaient entre autres pour leur calculs astronomiques mais se dépêchaient de le reconvertir dans leur système pur, sans ce nombre vide. Il est à noter que les grecs écrivaient le zéro “o” pour omikron, dont la ressemblance avec notre zéro actuel est un pur hasard, on va rapidement voir pourquoi.

Une des premières raisons de cette détestation de ce simple nombre est que selon les croyance grecques, avant la création, il y avait le vide et le chaos ; zéro leur était alors inexorablement associé.

Mais ce n’était pas la seule raison de ce rejet, loin de là! Le zéro était en contradiction ou pire, paradoxal, pour la plupart des croyances grecques. Par exemple zéro additionné à lui même reste le même nombre nul. Ce qui contredit directement le principe d’Archimède qui dit qu’en ajoutant n’importe quel nombre à lui-même suffisament de fois, on dépasse tout nombre. De plus, les grecs avaient une vision géométrique des nombres; n’importe quel nombre était associé à un segment, une multiplication revenait alors à dilater le segment et une division à le contracter. Mais à quoi correspondrait une multiplication par zéro? Et à quel type de segment correspondrait ce nombre étrange?  Comme n’importe quel nombre multiplié par zéro donne justement zéro, le segment est cassé de manière irréversible, zéro est une brute qui casse tout ce qu’il touche, les grecs n’en veulent pas!

De nous jours, la définition de zéro est justement qu’additionné à n’importe quel nombre, il laisse le nombre inchangé. En revanche, le fait que sa multiplication par n’importe quel nombre donne zéro se démontre! L’ensemble des nombres entiers relatifs (qui n’existe pas encore certes, mais c’est ici une apparté!) ou plus simplement nommé ensemble de tous les nombres entiers positifs est ce que l’on appelle en mathématiques un groupe pour l’addition. C’est à dire qu’il respecte les 4 règles suivantes :

  • Si l’on prend deux nombres quelconques de ce groupe, leur somme appartient aussi au groupe. Par exemple 2 et 5 sont des entiers relatifs et leur somme 7 aussi.
  • L’addition respecte l’associativité. C’est à dire qu’on peut changer la place des parenthèses : 2+(3+4)=(2+3)+4
  • Le groupe possède un élément neutre, c’est à dire un élément ‘e’ tel que pour n’importe quel nombre ‘a’, a+e=e+a=a. C’est justement cet élément neutre que l’on appelle zéro pour l’addition.
  • Chaque élément possède un inverse. C’est à dire que pour chaque nombre ‘a’, il existe un nombre ‘b’ tel que a+b=e, l’élément neutre. Par exemple, pour 5, il existe -5 tel que 5+(-5)=0!
Lorsque l’on a ces 4 règles très simple, on peut faire la plupart des opérations que vous utilisez quotidiennement. Mais bien sûr on n’utilise pas que l’addition, il existe aussi la multiplication. Dans ce cas, ça se complique un peu car tous les entiers n’ont pas un inverse entier, par exemple si 2 est bien entier, son inverse 1/2 ne l’est pas. Du coup, pour avoir un groupe avec la multiplication, il faut prendre un groupe plus grand, par exemple les rationnels. Pour rappel, l’ensemble des rationnels, c’est l’ensemble des fractions, c’est à dire les nombres qui sont le quotient de deux entiers : 2/3, 6/7, etc. L’ensemble des rationnels privés de zéro (on va y revenir tout de suite) est justement un groupe pour la multiplication. Vous pouvez vérifier, les quatre règles sont respectées!
Alors si l’on résume, l’ensemble des rationnels est un groupe pour l’addition et est un groupe pour la multiplication si on le prive de zéro. Mais comme on veut toujours plus, on va vouloir un ensemble ou l’on peut utiliser les deux opérations en même temps. C’est grosso-modo ce que l’on appelle un anneau. Dans un anneau, il y a donc deux neutres, un pour l’addition (zéro) et un pour la multiplication (un). le Un était déjà dans le groupe pour l’addition, donc on sait faire des additions avec. En revanche, le zéro n’étant pas dans le groupe de la multiplication, on ne sait pas comment il réagit lorsqu’il est multiplié, il est nécessaire de le démontrer!

Prenons par exemple 4 (ça marche bien sur avec tous les nombres), En utilisant la factorisation et la propriété du neutre pour l’addition, on peut écrire :

0x4+0x4=4x(0+0)=4×0

En simplifiant par 4×0, on obtient 4×0=0. Le zéro transforme par la multiplication n’importe quel nombre en lui-même!

[Dessin – Les mathématiciens savent démontrer que 0x0=0)

Revenons à nos grecs anciens. Le zéro transformait donc  le nombre-segment grec en un point, on détruisait le segment, ce qui était impensable dans la pensée grecque et surtout enlevait toute possibilité d’inversion du phénomène… Mais justement, que se passait-il si on divisait par zéro?

Tout le monde le sait depuis la petite école, comme il est interdit de prononcer le nom de “vous savez qui”, il est INTERDIT DE DIVISER PAR ZERO. C’est un phénomène assez amusant et aussi l’objet d’un mème! En fait il n’est pas exactement interdit de diviser par zéro, c’est juste que si vous vous l’autorisez ne serait-ce qu’une seule fois, vous pouvez démontrer tout et n’importe quoi. Par exemple, nous allons démontrer avec une division par zéro un bien joli résultat.

On sant que pi x 0 = 42 x 0 car tout nombre multiplié à zéro fait zéro. Une division par zéro plus tard on a alors

pi=42.

Jusque ici rien de très étonnant, on savait depuis longtemps que 42 était la réponse à tout ce qui existe mais comme on a pu le voir dans le dossier sur le théorème de Gödel ou celui sur l’infini, s’autoriser une contradiction (bah oui parce que pi n’est pas égal à 42) amène à une théorie contradictoire où tout résultat et son contraire est vrai. Alors certes on peut s’amuser à diviser par zéro mais alors, plus rien n’a de sens!

Le rejet du zéro par les grecs était avant tout philosophique, il représentait une réelle plaie pour la pensée de l’époque, un peu comme le furent les irrationnels. Remarquons que l’infini avait déjà pas mal agacé les grecs entre autrse avec le paradoxe de Zénon. En fait, zéro et infini sont intimement liés, comme nous le verrons plus en détail la semaine prochaine.

Mais celui qui a de loin le plus empêché le zéro d’arriver pleinement chez les Grecs à cette époque-là et plus tard en Europe est Aristote. En effet, sa pensée a influencé l’Europe pendant les siècles suivants et il était le plus fervent opposant au nombre étrange. Cette opposition d’Aristote a laissé aujourd’hui quelques restes comme l’expression “la nature a horreur du vide”.

Des particules élémentaires oui mais sûrement pas du vide

A l’époque, la théorie des atomes commençait à naître. Or les atomes impliquent d’avoir du vide, en effet, entre ces atomes il y a beaucoup de vide… et dans l’univers, la théorie atomiste imposait un vide infini. Pour exemple, si l’on retire le vide de tous les atomes de l’empire state building, on obtient quelque chose pas plus grand que la taille d’un grain de riz.

Aristote refusait de croire au vide, il acceptait l’idée de particules élémentaires mais rejettait la notion d’atomes et considérait que toute la matière était constituée des 4 éléments : Eau, Feu, Air et Terre. Et il considérait la matière comme continue, ne s’interrompant jamais. Il est assez ironique de remarquer que les théories modernes de cosmologie reviennent sur cette notion de vide absolu en donnant non seulement une courbure à ce vide (avec la relativité générale) ou encore en postulant que le champ de Higgs est partout et interagit sur les particules.

Reste que pour palier ce problème avec le vide et surtout avec l’infini, les philosophes de l’époque complétèrent la théorie atomiste d’une manière particulièrement poétique. Ils postulèrent que l’univers était en fait dans une gigantesque sphère, où, bien sûr, la Terre était au centre. Cette sphère englobante était un globe bleu, incrusté de petits points brillants : les étoiles. L’univers devenait fini et Aristote déclarait que les mathématiciens n’avaient pas besoin d’infini, ni de l’utiliser. Or pour rejeter l’infini, il faut rejeter le vide, les deux sont intimement liés. En effet, a partir du moment où l’on accepte l’existence du vide, comme zéro ajouté à lui même reste zéro, il y a aussi une infinité de vide!

Pour l’anecdote, Archimède calcula qu’il fallait 1051 grains de sable pour remplir la sphère de l’univers. Ce nombre était tellement grand que le système de numérotation grec ne pouvait pas l’écrire!

Ce système a perduré pendant de nombreux sciècles pour une raison très simple: il prouvait de manière irréfutable l’existence de Dieu. La grosse sphère incrustée de points lumineux qui englobait l’univers tournait et il fallait bien une force extérieure pour la faire tourner, cela ne pouvait être que Dieu!

1400 ans sans entendre parler de rien et le bug de l’an 2000

Une fois qu’Aristote eut fait son oeuvre, impossible pour le zéro d’entrer en Grèce. Et avec l’invasion des Romains, le neutre fut rayé d’Europe pendant plus de 1400 ans… Les 7 sciècles d’ère romaine n’ont pas spécialement marqué l’histoire mathématique, l’auteur de “Zero, Biography of a Dangerous Idea”, qui a servi de base à ce dossier résume cela en disant que le meurtre d’Archimède fut sans doute la contribution la plus notable des Romains à cette science!

Pour s’en convaincre plus encore, il suffit de regarder leur système de numérotation que l’on utilise tous encore parfois; il est bien loin de l’innovation Babylonienne. Pendant les 7 sciècles qui suivirent les romains, le zéro ne montra pas non plus son nez, ce qui laissa tout le temps aux moines de faire n’importe quoi…

Les moines à cette époque n’avaient besoin des maths que pour deux activités : la prière et l’argent. Pour organiser les prières, il était nécessaire de créer un calendrier et c’est exactement ce à quoi s’attela Dyonysius Exiguus sur les ordres du pape Jean 1er. En traduisant des tables provenant de l’Est du continent, il découvrit qu’il pourrait calculer la date de naissance de Jésus Christ. En faisant rapidement quelques calculs, il décida que l’année courante était la 525e année depuis la naissance du Christ (soit dit en passant, il s’était en fait trompé de 4 ans…).Et en toute logique, il choisit l’année 1 pour la naissance du Christ. Remarquez que l’on refuse aussi de dire qu’un bébé a zéro ans. Pendant sa première année, on commence à compter en jours, puis en semaines, puis en mois, puis enfin en années en banissant la phrase toute simple “il est beau hein, il a zéro ans”. Il est quand même balo que pour mettre le Christ au centre de leur calendrier, les moines ont tout simplement oublié son année de naissance.

Le zéro ayant été bani par Aristote, les années s’organisaient donc sans lui

… –2 –1 1 2 …

Cette simple décision nous fait encore aujourd’hui faire des erreurs. Par exemple, 6 milliards de personnes (ce n’esst pas rien) ont fêté le nouveau millénaire un an trop tôt, sans année zéro, celui-ci commence en 2001!

[Dessin d’un mec tout seul dans son lit pendant que les mec font la fete à la fenetre “Les cons!”]

Mais pire encore, comme on l’a vu au-dessus, sans zéro, pas de neutre et donc pas de groupe au sens mathématique; on n’a plus le droit aux soustraction sans erreurs… Grâce à ce zéro, on peut inverser l’opération d’addition et simplifier les équations, c’est ce qui nous permet d’écrire que

x+5=3

est équivalent à

x=5–3=2

Sans ce neutre, on ne peut plus faire tout ça! Reprenez la ligne des nombres sans zéro de tout à l’heure :

… –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 …

5, à qui l’on soustrait cinq unités donne –1 : 5–5=1. Mais pire encore, 5+(–5)=1. L’addition n’est même plus commutative! Sans cette simple année zéro, on ne peut pas soustraire des dates, et on ne peut pas additionner indifféremment des dates positives avec des dates négatives ou des dates négatives avec des dates positives! C’est exactement ce type d’erreur que fit le Washington Post en annonçant fièrement que comme le Christ était né en –4, le nouveau millénaire devait être fêté en 1996!

A titre de remarque, cette notion de neutre est indispensable pour pouvoir inverser une opération. Dans le cas de la multiplication, c’est le 1 qui joue ce rôle de neutre.

Quant au fait de compter les années à partir de la naissance de Jesus Christ plutot qu’un autre, sachez que les astronomes utilisent une autre référence, elle aussi complètement arbitraire, mais pas biblique, en particulier pour y ajouter le zéro et faciliter les calculs.

Mais si nous avons autant fêté l’année 2000, c’est avant tout parce que l’on aime les nombre avec pleins de zéros! Malgré la lutte d’Aristote pour le faire disparaître, qui n’a jamais joué avec le compteur d’une pompe à essence pour tomber sur le nombre rond, qui n’a jamais attendu qu’un réveil à chiffres affiche l’heure pile?

Le grand saut des Indiens

La fin de l’histoire de la découverte du zéro est moins épique. C’est chez les Indiens qu’il réapparaît. Les Indiens n’avaient ni peur du vide ni de l’infini. Le cosmos hindou était infini et pour eux, tout avait été créé à partir du vide. Les indiens appréciaient donc le zéro. Ils passèrent d’un système grec à un système Babylonien en base 10. Nos chiffres sont des évolutions de leurs chiffres et ne méritent donc pas vraiment l’appellation de chiffres “arabes”.

C’est en 628 qu’est défini le zéro dans le traité de Brahmagupta. Il définit ce nombre comme la soustraction d’un nombre par lui-même. Les Arabes récupèrent alors ces écrits, les traduisent et importent ainsi le zéro.

Pendant ce temps, en Europe on continue à utiliser le système romain pourtant bien peu pratique pour faire des mathématiques. La peur du vide est toujours là mais grâce aux marchés, le zéro aura le dernier mot! La première étape est de retirer certaines doctrines un peu absurdes en postulant qu’Aristote n’a pas à décider ce que Dieu peut faire ou non!

Fibonacci, un mathématicien italien, influencé par les Arabes, introduit le zéro en Europe dans son livre où il présente la fameuse suite qui porte son nom. Les marchands, ayant besoin de faire des opérations sans erreurs adoptèrent très rapidement le nouveau nombre… Le zéro est enfin arrivé en Europe!

Sources :

Suite (et fin) du dossier:

» Zéro et l’Infini… Une’histoire d’amour impossible

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Cette semaine, scoop! Anh Tuan s’installe aux commandes en tant, et c’est officiel, que 3e larron de la bande! Welcome on board!

Dans l’ordre, nous parlons:

Last but not least, la fameuse quote de Mathieu empruntée cette semaine à un illustre physicien:

An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field.

Traduction maison: un expert est une personne qui a fait toutes les erreurs possibles dans un domaine spécifique

Niels Henrik David Bohr

À méditer!

Bonne semaine! En attendant, rdv chez nos amis de Niptech Podcast: www.niptechpodcast.com

Prochain enregistrement le jeudi 4 novembre 2010

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Sources:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_de_Z%C3%A9non
http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_d%27Achille_et_de_la_tortue
http://pagesperso-orange.fr/th%E9rese.eveilleau/pages/paradoxe/textes/zenon.htm

Le paradoxe du mouvement

  • Un personne qui veut aller vers un mur, ne pourra jamais parcourir la distance qui la sépare du mur.
  • Parce que d’abords elle doit atteindre la moitié de la distance qui la sépare de ce mur.
  • Mais avant d’atteindre le milieu de cette distance qui la sépare au mur, elle doit d’abords parcourir la moitié de celle-ci.
  • Mais avant, la moitié de la moitié de celle-ci…
  • Et ceci éternellement jusqu’à l’infini…
  • D’un point de vue purement théorique, une personne ne peut pas parcourir une certaine distance, elle est condamnée à rester immobile, parce qu’elle doit toujours parcourir la moitié de la moitié de la moitié…de la distance qui la sépare de sa destination.
  • => ça pourrait laisser sous-entendre que au bout du compte le mouvement physique est impossible et n’existe pas et que le mouvement n’est qu’une illusion.
  • Mais on se rend bien compte que dans la réalité c’est pas comme ça, c’est possible de se déplacer d’un point à un autre.

Les paradoxes de Zénon

  • Philosophe grec qui a émis un certain de nombre de paradoxes lié à cette illusion du mouvement.
  • Dans le paradoxe d’Achille et de la tortue:
    • Il est dit qu’un jour, le fameux héros grec Achille a disputé une course à pied avec une tortue.
    • Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement à la tortue une avance de mille mètres (1 km).
    • Zénon affirme alors que le rapide Achille n’a jamais pu rattraper la tortue:
      • En effet, supposons pour simplifier le raisonnement que chaque concurrent court à vitesse constante, l’un très rapidement, et l’autre très lentement
      • Au bout d’un certain temps, Achille aura comblé ses mille mètres de retard et atteint le point de départ de la tortue ; mais pendant ce temps, la tortue aura parcouru une certaine distance, certes beaucoup plus courte, mais non nulle, disons 100 mètres.
      • Cela demandera alors à Achille un temps supplémentaire pour parcourir cette distance, pendant lequel la tortue avancera encore plus loin.
      • Et puis une autre durée avant d’atteindre ce troisième point, alors que la tortue aura encore progressé.
      • Ainsi, toutes les fois où Achille atteint l’endroit où la tortue se trouvait, elle se retrouve encore plus loin.
      • Par conséquent, Achille n’a jamais pu et ne pourra jamais rattraper la tortue.

Subtilité mathématique pour résoudre ce paradoxe

  • Basée sur le calcul infinitésimal qu’on connaissait pas à l’époque de Zénon.
  • L‘erreur mathématique dans le raisonnement introduit dans le paradoxe consiste à affirmer que la somme d’une infinité d’événements de plus en plus brefs tend vers l’infini, c’est-à-dire qu’Achille n’arrive jamais (temps infini) à rattraper la tortue.
  • C’est  James Gregory (1638-1675), un mathématicien écossais du XIIème siècle qui a démontré le contraire:
    • Une somme infinie de nombre peut avoir un résultat fini.
    • Une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.
  • Les distances (et aussi les intervalles de temps) que doit parcourir Achille pour aller d’un point où se trouvait la tortue au point suivant sont toujours infiniment plus petits, et la somme de ces distances (intervalles de temps) donne mathématiquement un résultat fini: la valeur de ce résultat fini donne le point (moment auquel) où Achille dépassera la tortue.
  • On voit que la moitié de la distance + la moitié de la moitié de la distance + la moitié de la moitié de la moitié de la distance…donne comme résultat une distance entière (et un temps entier!). On peut donc parcourir un nombre infini de moitiés en un temps fini.

Que dit la mécanique quantique?

  • La mécanique quantique a découvert que l’évolution dynamique (motion) d’un système quantique peut-être altérer, voire même inhiber à cause de la propre observation de ce système.
  • C’est ce qu’on appelle l’effet quantique de Zénon (quantum Zeno effect).
  • Alan Turing, un de pères de l’informatique, avait d’ailleurs à l’époque exprimer ça:
    • Si on fait N mesures/secondes de l’état d’un système qu’on observe, alors même si l’état n’est pas stationnaire, la probabilité que le système sera dans le même état après une seconde tends vers 1 si N tends vers l’infini.
    • Ce qui veut dire que les observations continuelles empêchent le système d’évoluer d’un état vers un autre et donc d’être dynamique.
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