L’infiniment petit

On 29.09.2013, in Dossiers, by Robin
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« Que l’homme contemple donc la nature entière dans sa haute et pleine majesté (…), que la terre lui paraisse comme un point au prix du vaste tour que cet astre décrit et qu’il s’étonne de ce que ce vaste tour lui-même n’est qu’une pointe très délicate à l’égard de celui que les astres qui roulent dans le firmament embrassent. Mais si notre vue s’arrête là, que l’imagination passe outre; elle se lassera plutôt de concevoir, que la nature de fournir. Tout ce monde visible n’est qu’un trait imperceptible dans l’ample sein de la nature. Nulle idée n’en approche. Nous avons beau enfler nos conceptions au-delà des espaces imaginables, nous n’enfantons que des atomes, au prix de la réalité des choses. C’est une sphère dont le centre est partout, la circonférence nulle part.(…)
Mais pour lui présenter un autre prodige aussi étonnant, qu’il recherche dans ce qu’il connaît les choses les plus délicates. Qu’un ciron lui offre dans la petitesse de son corps des parties incomparablement plus petites, des jambes avec des jointures, des veines dans ces jambes, du sang dans ces veines, des humeurs dans ce sang, des gouttes dans ces humeurs, des vapeurs dans ces gouttes; que, divisant encore ces dernières choses, il épuise ses forces en ces conceptions, et que le dernier objet où il peut arriver soit maintenant celui de notre discours; il pensera peut-être que c’est là l’extrême petitesse de la nature. Je veux lui faire voir là dedans un abîme nouveau. Je lui veux peindre non seulement l’univers visible, mais l’immensité qu’on peut concevoir de la nature, dans l’enceinte de ce raccourci d’atome. Qu’il y voie une infinité d’univers, dont chacun a son firmament, ses planètes, sa terre, en la même proportion que le monde visible; dans cette terre, des animaux, et enfin des cirons, dans lesquels il retrouvera ce que les premiers ont donné; et trouvant encore dans les autres la même chose sans fin et sans repos, qu’il se perde dans ses merveilles, aussi étonnantes dans leur petitesse que les autres par leur étendue »

Les pensées de Pascal

Pour démarrer, une première remarque : Ni Nico ni moi ne sommes les premiers à être tatillons sur l’usage du mot « infini » hors contexte mathématique. Pour preuve ce texte hyper connu de Pascal sur les deux infinis, ou encore Archimède lui-même : histoire de montrer à tout le monde qu’il n’y avait pas d’infini dans ce bas monde, il a fait une estimation (haute), du nombre de grains de sable que l’on pourrait caser dans l’univers. Bon, évidemment, on ne ferait plus le calcul comme lui en mettant la terre au centre d’une sphère où sont collées les étoiles. Mais l’idée est là : il y a des nombres gigantesques, des tailles minuscules, sans que tout cela ait un rapport quelconque avec l’infini. Un grain de sable, un atome, ou n’importe quel objet physique a une certaine taille. Il est donc bien impossible d’en mettre une infinité dans un espace fini, même très grand.

sable.33.39Beaucoup de grains de sables très petits.

À l’inverse, sur un segment, objet fini, on case… une infinité de points ! Si vous n’en êtes pas convaincus, deux petites questions :
Qu’obtient-on quand on coupe un segment en deux ? En principe, deux segments, plus petits.
Pouvez-vous imaginer un segment que l’on ne peut pas couper en deux ? À l’inverse de la dernière part de gâteau que tout le monde coupe et recoupe en deux pour ne pas être celui qui finit, et qui termine en miette que l’on ne coupera pas, un segment si petit soit-il peut toujours être coupé en deux. Là encore, si vous êtes dubitatifs (et ce n’est pas cochon), il est relativement simple de se convaincre : un segment, c’est une certaine longueur, donc un certain nombre qui ne vaut pas 0. Et on peut toujours diviser un nombre par deux, s’il n’est pas nul, on ne tombera pas sur zéro, mais sur un nombre positif : la longueur des deux segments obtenus.

infinite_points

On peut toujours couper un segment en deux, et le résultat aussi… Il y a bien une infinité de points sur le segment AB

Résumons : on peut toujours couper un segment en deux ; le résultat est deux segments. Que l’on peut donc à nouveau couper en deux. Et il n’y a pas de raison que ça s’arrête. Or chaque coupe est faite sur un point. Il y a donc bien une infinité de points sur un segment, qui est pourtant d’une longueur finie. Syncope chez les physiciens.

syncope Physicien découvrant un segment mathématique

La question est donc posée : qu’est ce qu’un point ? Si ce que l’on obtient en coupant toujours des morceaux plus petit, ce sont toujours des segments d’une certaine taille, aucun n’est candidat pour être « infiniment petit ». Que pourrait donc bien vouloir dire l’infiniment petit ? Si c’est quelque chose, ça devrait avoir une certaine taille ? Or là, il semble que si l’on rajoute un point à un segment, ça ne change pas la longueur de celui-ci… J’en parle de façon mathématique, mais on peut bien sûr en parler de façon « physique » : de même qu’il est compliqué de penser un univers fini, car il y aurait une frontière, et donc quoi derrière la frontière (bon, la réponse actuelle est qu’il peut très bien être fini sans frontière, car tordu dans une 4ème dimension…), il est tout aussi difficile de penser quelque chose comme « le plus petit possible » : qu’y aurait-il dedans ?

Il est temps de ressortir le vieux Zénon : on oublie souvent qu’il n’a pas qu’un paradoxe à son arc… Le plus connu, raconté avec Achille et la tortue, ou avec une pierre qu’on jette vers un mur, s’oppose à cette vision continuiste du monde : si on peut toujours couper en deux une durée ou un espace, alors Achille ne rattrapera jamais la tortue, une pierre lancée contre un mur ne l’atteindra jamais (elle ne quittera même jamais la main de la personne qui la lance) car il faut passer par une infinité d’étapes (voir l’illustration plus haut de l’infinité de points sur un segment)

D’autres paradoxes s’opposaient à la vision concurrente proposée à l’époque : l’« atomisme ». Certains penseurs grecs pensaient en effet que le monde était fait d’atomes, pas au sens actuel, mais au sens de « plus petit élément », que l’on ne peut pas casser, et avec du vide entre eux.
Contre la vision atomiste, Zénon propose entre autres le paradoxe de la flèche : si le temps est constitué d’atomes, alors on peut considérer la flèche à un instant donné. Or à un instant donné, la flèche est immobile, à un endroit précis. Sa vitesse est donc nulle. Elle ne peut donc pas bouger…
Il faut bien dire qu’effectivement, réussir à donner un sens à la notion de « vitesse instantanée » est bien délicat. En gros, on voudrait dire que c’est un instant « un peu épais », ou un intervalle de temps vraiment très très court.
On ne sort pas de là : si on ne peut pas couper un infiniment petit, c’est un point. Sinon, il a une certaine taille, et n’a donc rien d’infiniment petit.
La notion de « point » en géométrie classique fait le premier choix : un tel point n’a donc pas de largeur, pas de longueur, pas d’épaisseur. La définition proposée par Euclide reprend bien les termes du problème : « un point est ce qui n’a pas de partie », autrement dit ce qu’on ne peut pas couper en deux. L’une des conséquence les plus fâcheuses pour l’intuition est sans doute qu’il y a autant de points sur deux segments de taille différente, et même sur une droite. Il est relativement simple de s’en convaincre, par exemple pour deux segments : placez les parallèlement, l’un au dessus de l’autre.

autant_de_points On relie a à A et b à B, et on obtient O. Toute demi-droite partant de O indique à tout point du segment du haut, (ici M) à qui il doit serrer la main en bas (ici N) et réciproquement. Il y a donc autant de monde en haut et en bas…

Reliez les extrémités les unes aux autres. Le point obtenu permet d’« envoyer » chaque point de l’un des segment sur l’autre, et vice versa. On a donc une correspondance entre chaque point de l’un des segments et chaque point de l’autre. Comme si chaque point de l’un serrait la main d’un point de l’autre. Et pourtant, il n’y a pas de points plus tassés d’un côté que de l’autre, ni de point plus gros ou plus petit… Arrangez-vous avec ça.

On peut reprendre la perplexité de d’Alembert :

« Une quantité est quelque chose ou rien (…). L’idée qu’il puisse y avoir un état intermédiaire entre ces deux est une chimère »

Leibniz, lui, ne semble pas plus perturbé que ça, même s’il n’est pas très très clair :

« Je juge d’ailleurs que deux termes sont égaux non seulement lorsque leur différence est absolument nulle, mais aussi lorsqu’elle est incomparablement petite, et bien qu’on ne puisse dire en ce cas que cette différence soit absolument Rien, elle n’est pourtant pas une quantité comparable à celles dont elle est la différence. Ajoutons à une ligne un point d’une autre ligne, ou une ligne à une surface, nous n’accroissons pas leur grandeur. Il en va de même si nous ajoutons à une ligne une autre ligne mais incomparablement plus petite. Aucune construction ne peut montrer non plus un tel accroissement. »

Bon bon bon… C’est limpide, c’est un truc vraiment très petit ;-)

Mais pourquoi donc s’acharner sur ces objets qui sont si malaisé à appréhender ? Parce qu’on en a besoin, au moins pour l’intuition, notamment en math et en physique.
Premier exemple : les formes courbes. Comment donner un sens à une longueur, une surface ou un volume courbe ? A priori, ce que l’on sait faire sans réfléchir, c’est calculer des longueurs droites (le théorème de Thalès et celui de Pythagore par exemple le permettent dans bien des situations), des surfaces de polygones (tout polygone peut se découper en petits triangles, et on sait calculer la surface d’un triangle), mais dès qu’il y a courbe, à commencer bien sûr par le cercle, c’est la panique : on ne sait pas faire. (et ce problème a d’ailleurs occupé et continue d’occuper, d’une manière ou d’une autre, une bonne partie des mathématiciens, mais pas pour le cercle, quand même !)

Pourtant, en réfléchissant deux minutes, on se rend bien compte qu’une courbe, c’est un peu comme plein de toute petites lignes droites (nous parlons là de courbes « gentilles », pas d’horreurs comme les fractales). Nico a par exemple bien décrit, dans son dossier, la méthode utilisée par Archimède pour calculer le périmètre d’un cercle : il calcule le périmètre de polygones extérieurs et intérieurs au cercles ; plus ces polygones ont des côtés petits, plus ils se rapprochent du cercle.

archimede_pi La méthode d’Archimède : on coince un truc rond entre deux suites de polygones. Et on évite bien de dire qu’on continue jusqu’à ce que les côtés soient « infiniment petits »…

Un grec de l’Antiquité aurait certainement hurlé en entendant cette phrase, mais en gros on « sent » qu’un cercle, c’est un polygone avec une infinité de côté infiniment petits. Oui mais bon, on a vu que ça ne voulait pas dire grand chose…

Les physiciens, quant à eux, auraient bien envie de savoir ce que veut dire une vitesse instantanée, par exemple. Une vitesse moyenne, on voit bien : on prend la distance parcourue pendant un certain temps, par exemple 30 mètres en dix secondes, et on dit que la flèche s’est déplacée à une vitesse moyenne de 3 mètres par seconde. Mais elle ne va pas toujours à la même vitesse. Et dans bien des situations, les physiciens seraient content de pouvoir dire : « à cet instant, la flèche va à telle vitesse ».

Pour s’en sortir, on peut botter en touche. Voilà un petit florilège d’évitements des infiniment petits :

3singes Un infiniment petit ? Où ça ?

Pour démontrer qu’une surface a telle grandeur, Archimède la coince donc entre deux suites de polygones dont on sait calculer les surfaces. et pour lesquels on démontre que la différence entre les deux surfaces peut être rendue plus petite que n’importe quel nombre donné ; on passe ensuite par un raisonnement par l’absurde pour conclure : la surface qui nous intéresse ne peut pas être plus grande que l’un des polygones plus grand, ou plus petite que l’un des plus petits. Donc elle vaut bien la valeur que l’on attend. Ouf !

L’idée de la théorie de l’intégration, datant du 19ème siècle, est à peu près la même, juste mise en forme rigoureuse. Elle permet de calculer de façon bien plus efficace et dans des situations bien plus variées des objets courbes. L’idée principale est celle de limite : on approche une courbe avec des rectangles, en faisant donc des « escaliers ». Puis on « fait tendre » la taille des marches vers 0. jamais on ne parle donc d’un infiniment petit. Pour ce qui est de la vitesse instantanée, c’est la limite de la vitesse moyenne quand l’intervalle de temps tend vers 0… On s’en sort donc avec des points et des limites, pas d’infiniment petit en vue.

Entre deux, au XVIIe siècle, Cavalieri, lui, est parti d’une vision plus intuitive : il paraît naturel de dire qu’un volume est un empilement de plans, une surface un empilement de lignes, et une ligne une succession de points. Et en même temps, c’est gênant, puisque si un point n’a pas de dimension, on n’obtiendra jamais un segment même en en mettant une infinité. De même, on n’obtiendra jamais une surface en empilant des lignes qui n’ont pas de largeur, ou un volume avec des surfaces sans épaisseur.

Mais Cavalieri sait rester prudent : Tout ce qu’il dit, c’est que si deux surfaces sont prises entre deux droites parallèles, et qu’à toute « hauteur » choisie, les deux « tranches » obtenues dans les deux surfaces sont de même longueur (ou toujours dans le même rapport), alors ces deux surfaces sont égales (ou on déduit l’une de l’autre par une règle de trois). Cette méthode fonctionne bien entendu également avec des volumes coincés entre deux plans parallèles. Pour prendre une image peut-être plus concrète, prenez deux paquets de cartes identiques, et posez les côte à côte sur une table. Donnez aux paquets la forme que vous le voulez, en laissant bien les cartes empilées l’une sur l’autre (vous pouvez faire des »vagues » sur le côté, une spirale comme les pros du poker ou les magiciens…). En coupant par des plans horizontaux, vous rencontrerez dans chaque paquet, à chaque hauteur, une même surface : celle d’une carte. Cela nous assure, dit Cavalieri, que ces deux paquets ont un même volume.

indivisible_piecesici, l’idée avec des pièces : le « cylindre » de gauche a le même volume que le truc tarabiscoté de droite.

Pour un exemple détaillé de la méthode de Cavalieri :

et un autre là

Évidemment, ça ne marche pas avec des cartes ou des pièces, puisqu’il y a des « marches » à chaque étage.

Cette méthode, quoi qu’efficace, a été très critiquée. Notamment parce qu’on ne sait pas bien ce que sont ces indivisibles… additionnant des lignes, on obtient une surface, et en additionnant des surfaces, on obtient des lignes. Certains tenant de la méthode se sont défendus : il ne s’agit pas vraiment de lignes, mais de rectangles très très fins. On y revient… Sauf que s’il s’agit réellement de rectangles, alors ça ne marche pas.
Autre critique : pourquoi ça ne marche que quand les « indivisibles » sont parallèles ? Dans d’autres cas, les contre exemples foisonnent.

indivisible_foireux Exemple d’indivisibles qui tournent mal : il semblerait qu’il y en a autant horizontaux et verticaux. Il est clair que les horizontaux sont plus longs que les verticaux. Donc le triangle ACD devrait être plus grand que ABC. Or il a également la même surface ! Où est l’arnaque ?

Râclements de gorges chez les tenants des indivisibles : « Oui non mais… En fait, il y a des indivisibles « plus gros » que d’autres… »
Bon, en gros, la méthode a l’air de marcher, mais elle demande d’admettre des indivisibles dont personne ne sait vraiment ce qu’ils sont.

Passons maintenant à ceux qui osent se lancer :
Pascal ou Roberval, par exemple, soutiennent les indivisibles, considèrent qu’ils ont une véritable existence.
Pascal :

« Et c’est pourquoi je ne ferai aucune difficulté dans la suite d’user de ce langage des indivisibles, la somme des lignes ou la somme des plans (…) [ceux] qui s’imaginent que c’est pécher contre la géométrie que d’exprimer un plan par un nombre indéfini de lignes ; ce qui ne vient que de leur manque d’intelligence, puisqu’on n’entend autre chose par là sinon la somme d’un nombre indéfini de rectangles faits de chaque ordonnée avec chacune des petites portions égales (…), dont la somme est certainement un plan, qui ne diffère de l’espace [recherché](…) que d’une quantité moindre qu’aucune donnée. »

Roberval va lui jusqu’à dire que les indivisibles existent dans le monde réel, ce qui lui vaudra quelques problèmes avec la religion… On ne contredit pas Aristote comme ça. Pour lui en tous cas, les indivisibles d’une surface sont forcément des surfaces : il y a sinon un problème d’« homogénéité ». De même qu’on n’obtient pas des carottes en additionnant des choux, on ne peut pas obtenir une surface en additionnant des longueurs. (Petite parenthèse histoire de se perturber un peu : l’avenir dira que c’est un peu plus compliqué que ça, puisque Peano a trouvé début XXe siècle une courbe (certes de longueur infinie) qui rempli littéralement un carré… Pourtant la ligne est « infiniment fine », elle n’a pas de largeur !)

Bref, c’est un peu foutraque.

Un peu plus tard, les débuts du « calcul infinitésimal » va reprendre cette idée de façon beaucoup plus barbare encore. Newton et Leibniz sont les deux « inventeurs » de cette méthode permettant de résoudre des problèmes posés depuis l’Antiquité.

En gros, ils introduisent la notion de « dx », qui signifie intuitivement « juste après » ou « presque rien ». Or le point ou l’instant d’après, je ne vous apprend plus rien, ça ne veut rien dire, bien sûr. On ne peut voir le continu comme une série d’instants… Mais la méthode marche, et permet notamment de donner un sens à « vitesse instantanée ». Et ça, quand une méthode marche… Il n’y a généralement plus personne pour la rejeter.

Mais quand même, cette époque est hallucinante : On fait absolument n’importe quoi, on divise des infinitésimaux par des infinitésimaux, et on donne un résultat (ce qui revient à donner un résultat à 0/0 !?!?) On décrète que les infinitésimaux ne sont pas tous de la même nature, que certains sont négligeables par rapport à d’autres…
Revenons à Leibniz, pour la suite de l’explication limpide vue plus haut :

« Je considère que seules sont comparables des grandeurs homogènes, dont le produit de l’une par un nombre, un nombre fini s’entend, peut surpasser l’autre. Je pose donc que des grandeurs dont la différence n’est pas de cette nature sont égales, comme l’admit également Archimède et tout le monde après lui. C’est précisément dans ce cas qu’on dit qu’une différence est plus petite que toute grandeur donnée. Le procédé d’Archimède permet toujours de le confirmer au moyen d’un raisonnement par l’absurde. Toutefois, comme la méthode directe est plus immédiatement compréhensible et plus expédiente pour inventer, il suffit, une fois qu’on a compris cette démonstration régressive, d’appliquer la méthode directe consistant à négliger les quantités incomparablement plus petites, méthode qui porte en elle-même sa propre justification conformément aux lemmes que j’ai publiés en févier 1689. Rejeter pareille définition de l’égalité, c’est faire une querelle de mots. »

L’idée de base est exactement la même que depuis l’Antiquité, sauf qu’on se permet d’écrire directement que l’on fait la somme de tous les infinitésimaux. Fini les précautions de toute sortes. Les Grecs de l’Antiquité auraient déjà eu du mal à accepter qu’on puisse faire une somme avec une infinité de terme (comme la fameuse somme 1 + ½ + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … qui vaut 2, pour résoudre l’un des paradoxe de Zénon), mais là on fait carrément une somme sur tous les points d’un segment, voire d’une droite, bref, sur un truc continu !

On trouve un élément essentiel dans ce texte, qui commence à donner une idée de propriété de ce que sont les infiniment petits : si on veut qu’ils soient tels que nous les voulons, il faut que, multipliés par n’importe quel nombre, ils restent plus petits que n’importe quel nombre. Cela s’oppose à un axiome sur les nombres, proposé par Eudoxe dans l’Antiquité : si on prend deux nombres quelconques, A et B, A plus petit B. Alors il existe un nombre n tel que n x A est plus grand que B. S’il avait trouvé nécessaire de le donner, c’est qu’il sentait bien que ce n’était pas forcément évident… à cause de notre intuition des infiniment petits.

Pour les plus attentifs du podcast, particulièrement attentifs aux maths, vous devez vous souvenir d’une note d’El jj lue par Nico ici présentant une construction de nombres « surréels » qui ne vérifiaient effectivement pas cet axiome. Plusieurs constructions rigoureuses de ce type existent, l’une des plus connues étant l’« analyse non standard », qui a pris son essor dans les années 60. L’idée est toujours la même : rajouter des nombres aux nombres réels.

Pour résumer, il existe donc des nombres « standards », ceux auxquels nous sommes plus ou moins habitués. Et puis, on définit (proprement, ce n’est pas si simple, je ne rentre pas dans les détails) des nombres qui sont plus grands que n’importe quel nombre standard : des infiniment grands. Il y en a bien sûr une infinité. Et il y a toujours un nombre infiniment grand plus petit qu’un nombre infiniment grand donné, on peut imaginer une suite infinie de nombres infiniment grands de plus en plus petits tous plus grand que tous les nombres « standards ». Arrangez-vous avec ça.

Évidemment, à l’autre bout, il y a les infiniment petits, (enfin !) ceux qui sont plus proches de 0 que n’importe quel nombre standard. L’inverse d’un infiniment grand est bien entendu un infiniment petit, et vice versa. Notez que l’on n’est toujours pas capable de donner un sens à des expressions comme : « le point juste après un autre ». Il y a toujours une infinité de points entre deux points… Et les points sont toujours aussi tassés sur un segment.
Pour voir les choses de façon géométrique, le résultat est une droite couverte de « halos » plutôt que de points : un halo est un nombre réel standard, et tous les nombres qui lui sont infiniment proche, soit ce nombre plus ou moins un nombre infiniment petit. Un exemple : 0,3333…333, pour peu que l’on ai mis un nombre infiniment grand de 3, est infiniment proche de 1/3 et fait donc partie de son « halo ».

Il n’est pas sûr que ce monde soit beaucoup plus intuitif que l’autre, surtout quand on n’y est pas habitué ! Reste qu’effectivement, on dispose enfin d’infiniment petits. Certaines choses s’écrivent alors de façon beaucoup plus simple. Prenons un exemple bête : la continuité. Intuitivement, une courbe est continue si on peut la tracer d’un coup de crayon sans interruption. Une petite « histoire pour tenter d’expliquer un peu mieux le changement de formulation que permettent les infiniment petits :

Un marcheur part à 8h de chez lui, et arrive dans la ville voisine à 12h. Il peut à tout moment s’arrêter, faire demi-tour, accélérer… Savoir si son trajet est continu revient simplement à savoir s’il existe un moment où il s’est téléporté ou non. La façon de voir « classique » est de dire : si son trajet est continu à 10h (c’est à dire qu’il ne s’est pas téléporté à 10h), alors quelle que soit la distance que vous m’imposez, je peux trouver un intervalle de temps pendant lequel il n’était pas plus loin que cette distance du point où il se trouvait à 10h.
La version « Analyse non Standard » : pour tout instant infiniment proche de 10h, il était infiniment proche du lieu où il se trouvait à 10h.

Les deux façons de faire sont rigoureusement équivalentes, la seule différence est qu’on n’utilise pas les mêmes outils pour décrire une même propriété.

Les tenants de l’ANS disent que c’est plus intuitif, que les physiciens réfléchissent tous comme ça, et que c’est donc une bonne idée de leur fournir un tel outil, qui permettra de trouver de nouveaux résultats.

Les opposants disent que certes ça fonctionne, mais que ça n’apporte rien de nouveau. Donc à quoi bon

Certains vont même plus loin, et proposent donc d’autres modèles qui conviendraient mieux aux physiciens contemporains, qui ne s’occupent plus tellement de mécanique élémentaire, mais plutôt de physique quantique ou de trucs comme ça, où les choses se passent encore très différemment. J’avoue que je me sens assez incompétent pour prendre position !

Pour terminer, d’autres notions qui peuvent d’une manière ou d’une autre évoquer une forme « d’infiniment petit » :
La notion de « négligeable », par exemple, est bien utile dans et hors des maths. On arrive à justifier rigoureusement que certaines quantités sont tellement petites qu’on a le droit de les négliger quand les conditions sont réunies. Ce qui permet par exemple de dire que quand l’angle est petit, le sinus de cet angle vaut presque la même chose que la valeur de cet angle, avec la bonne unité.

La notion de « mesure » permet également de parler d’objets infiniment petits. En gros, on a mis au point des méthode permettant de mesurer un ensemble de points. Prenons le cas le plus simple : dans le cas d’un segment, sa mesure vaudra sa longueur. La mesure d’un point vaudra donc 0. Mais également la mesure de deux points, de trois, de… Jusqu’à combien ? En fait, on sait qu’il existe des ensemble de points « aussi gros » que l’ensemble des points de toute la droite qui ont une mesure de …0. Ce qui signifie qu’il n’y a pas que la quantité qui compte, l’essentiel est dans l’arrangement des points… Et qu’on peut considérer comme infiniment petit un ensemble très gros ! (sur des ensembles de mesure nulle, voir mon dossier sur le hasard)

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Le Vide

On 21.02.2013, in Dossiers, by Mathieu
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Wikipedia nous dit que le vide est défini comme l’absence de matière dans une zone spatiale. Alors faisons l’exercice d’imaginer une région de l’espace où règnerait un monde sans vie, sans planète, sans étoile, sans atomes susceptibles de s’organiser un jour en quelque chose…un monde sans matière, rempli de vide, imaginons un monde dans un état où il n’y a strictement rien…on se rend vite compte qu’il est difficile de penser le rien. D’ailleurs “Penser le rien, ce n’est jamais penser à rien” (Etienne Klein).

Grèce antique

Chez les philosophes grecs, Aristote soutenait qu’il ne pouvait exister un endroit vide. Pour lui la nature a horreur du vide. Aristote avait une conception de l’univers comme d’un « espace clos », organisé, ordonné et harmonique.

Thalès de son côté refusait aussi l’existence du vide et du rien. Il affirmait que quelque chose ne peut émerger du rien, et de même les choses ne peuvent disparaître dans le néant. Il éleva même ce principe à l’échelle de l’univers tout entier: pour lui, l’univers ne peut être issu du néant.

Parménide s’est aussi posé la question si on pouvait parler du vide comme d’une entité en soi, ou uniquement comme une absence? Il disait « l’être est, le non-être n’est pas »; le vide était pour lui un non-être, et ne pouvait donc exister.

Aristote

Mais les grecs avaient aussi déjà émis l’hypothèse que la matière peut adopter des formes granulaires. Si on empile des grains, il y a des espaces libres entre eux. Pour qu’il n’y ait pas de possibilité qu’une sorte de “vide” s’instaure dans les espaces libres, Empédocle fit l’hypothèse de l’éther, plus léger que l’air, pour remplir tous ces espaces. Selon lui, l’éther est une substance qui s’introduit partout, et empêche le vide de se former. Il imagina même que cet éther omniprésent servait à transmettre les influences d’un corps sur un autre, une sorte d’équivalent précurseur au champs gravitationnel.

Épicure, reprenant les idées de Démocrite, continuait à nier que quelque chose puisse sortir de rien. Mais Epicure et Démocrite sont aussi des atomistes, et ce sont les premiers à avoir émis l’idée de l’atome, le plus petit élément de base indivisible et commun à toutes les formes de matière. Et de là naquit pour la première fois chez les grecs l’idée de l’existence du vide, un espace sans rien dans lequel les atomes pouvaient se déplacer. Epicure affirmait que l’existence du vide était nécessaire au déplacement des atomes.

Renaissance

Les idées sur le vide des philosophes grecs ont perduré jusqu’à la Renaissance. Au XVIIème siècle, avec l’introduction de la méthode expérimentale, les physiciens de l’époque ont pu montrer que la croyance en la nature qui a horreur du vide est tout simplement le résultat d’une mauvaise interprétation des phénomènes physiques.  Si la nature a horreur du vide comme le préconisaient les philosophes grecs, c’est tout simplement parce nous sommes soumis à une chape de plomb qui est notre atmosphère et qui exerce une pression considérable sur chaque cm2 (1kg/cm2 = 10 tonnes/m2) de tout ce qui se trouve sur le sol, forçant l’air à s’infiltrer dans tous les orifices possibles, même les plus petits. Mais on sait aussi tous plus ou moins intuitivement qu’il est possible d’éliminer l’air d’un récipient et de faire le vide. En 1643, c’est Evangelista Torricelli (un élève de Galilée) qui mis en évidence expérimentalement pour la première fois l’existence du vide grâce à son expérience du baromètre au mercure. L’expérience consiste à utiliser un tube creux en verre vertical d’environ 1 mètre de long rempli complètement de mercure et ouvert à une extrémité (longue pipette de chimiste). On bouche l’extrémité ouverte avec son doigt (la précaution vaut qu’on utilise un gant, le mercure est toxique), on retourne le tube tout en le plongeant avec précaution dans une cuvette elle aussi remplie de mercure. Tant que le doigt bouche l’extrémité immergée, le mercure reste en place dans le tube. Si on enlève le doigt, alors on constate que le mercure dans le tube descend jusqu’à ce que la colonne ne soit plus que de 76 centimètres (au lieu d’un mètre), puis se stabilise à cette hauteur et ne bouge plus. Par cette expérience Torricelli a mis en évidence le lien direct entre le poids du mercure (ou du liquide utilisé) et la contrainte de l’atmosphère environnante (altitude/pression/température). La pression de l’air équilibre la pression de la colonne de mercure. Mais cette expérience mais aussi en évidence un autre phénomène qui nous intéresse dans ce dossier: qu’y a-t-il dans les 24 centimètres restant au sommet du tube? Là où il y avait du mercure, il y a en apparence plus rien. De l’air n’a pas pu y entrer, Torricelli réalisa pour la première fois qu’il avait créer du vide.

Baromètre Torricelli

Un tout petit peu plus tard en 1654, au moyen d’une expérience publique spectaculaire, Otto Von Guericke, inventeur allemand de la pompe à air, démontra la force de la pression atmosphérique en accolant deux hémisphères de cuivre d’environ 50 cm de diamètre de manière à former un sphère creuse. Il commença par montrer qu’il était aussi facile de les réunir que de les séparer. Ensuite à l’aide d’une pompe pneumatique connectée à un valve présente sur l’une des deux hémisphères, il aspira l’air contenu à l’intérieur de celles-ci. Il attacha ensuite chacun des hémisphères à un attelage de huit chevaux et montra que ceux-ci n’étaient pas capables de les séparer en tirant dans des directions opposées. Les hémisphères restaient collées. Il ouvrit alors la valve, laissant l’air à pression atmosphérique rentré à l’intérieur des hémisphères , et ceux-ci se séparèrent alors facilement. Dans cette expérience de von Guericke, quand on pompe l’air contenu dans la sphère, le poids de l’atmosphère extérieure exerce une importante pression à sur la sphère (10 tonnes/m2), sans qu’il y ait de pression à l’intérieur pour la contrebalancer. Le métal était suffisamment solide pour résister à l’écrasement dû à la pression atmosphérique, et même des chevaux n’étaient pas assez puissant pour fournir les tonnes de traction nécessaires pour triompher de la pression extérieure.

 

Sphère de von Guericke

Un peu plus tard, Blaise Pascal répéta l’expérience de Toricelli mais en utilisant comme liquide du vin bien moins dense que le mercure, mais bien plus volatil. Il s’aida d’un tube bien plus long, car le vin est moins dense que le mercure, ce qui fait que la pression atmosphérique peut soutenir une colonne de vin bien plus haute. Il a pu vérifier que l’espace en haut du tube est bien vide et qu’il ne contient pas de vapeur de vin, le vin se stabilisait à la hauteur prévue par les calculs, et la volatilité du vin n’était pas la cause de l’espace libéré au dessus du liquide, c’était bien la pression atmosphérique qui déterminait la hauteur de cet espace rempli de vide. Il y a bien un peu de vapeur de vin qui se répand dans l’espace vide créé, sa pression de vapeur appuie très légèrement sur la colonne du liquide, mais son effet est négligeable par rapport à la pression exercée par l’atmosphère.

Un autre expérience historique de Blaise Pascal effectuée en 1648 montra que la hauteur d’une colonne de mercure décroit quand l’altitude augmente, c’est-à-dire la pression atmosphérique décroît avec l’altitude. Cela vient du fait que l’atmosphère est limitée; à haute altitude, la pression est plus basse parce qu’il y a moins d’atmosphère au-dessus…l’atmosphère se raréfie graduellement jusqu’à disparaître. Il semblerait que les philosophes grecs avaient eu tort, la nature n’a pas particulièrement horreur du vide. Comme Pascal l’a lui-même noté, la nature n’a pas moins horreur du vide au sommet d’une montagne que dans la vallée, par temps humide ou par temps ensoleillé; c’est le poids de l’air qui donne l’illusion que la nature a horreur du vide.

D’ailleurs lorsque l’on dit dans le langage commun qu’un récipient est vide, il est en fait rempli d’air. Un verre vide, une bouteille vide, un carton vide… contiennent en fait des milliards de molécules d’air. Même avec les meilleurs pompes à vide, il est en pratique impossible de faire le vide parfait. Il existera toujours une très faible pression. Dans un vide considéré comme excellent (10-8 Pa) il contient encore 2,4 millions de molécules par centimètre cube à température ambiante.

A cette époque on a aussi montré qu’une lampe placée dans un volume transparent vidé d’air, grâce à des pompes pneumatiques, continue à être vue, ce qui démontre que la lumière peut voyager dans le vide. Par contre le son d’une cloche, lui, s’éteint quand on pompe l’air. Au moyen de cette expérience, on avait réussi à mettre en évidence que la nature du son est profondément différente que celle de la lumière.

XIX-XXème siècle

Fin du XIXème – début du XXème siècle, c’est Philippe Lenard, l’un des co-découvreurs de l’électron, qui apporta grâce à sa découverte une nouvelle dimension à la notion de vide. En envoyant des faisceaux d’électrons sur des atomes, il observa que les électrons passaient au travers comme s’ils n’avaient rien vu sur leur passage. On se rend alors compte que la matière semblant solide à l’état macroscopique, est transparente à l’échelle atomique. Ce qui poussa Lenard à remarquer: “l’espace occupé par un mètre cube de platine massif est aussi vide que l’espace interstellaire au-delà de la Terre.” On découvre donc qu’un atome est constitué d’un noyau avec des électrons infiniment plus petits et plus légers qui orbitent autour de celui-ci. Tout ce qui dans l’atome n’est pas électron ou noyau est du vide. On peut en dire autant des entrailles du noyau atomique, les protons et neutrons sont constitués de particules infiniment plus petites appelées les quarks baignant dans le vide du noyau de l’atome. Un atome est est essentiellement de l’espace vide à 99,9%. Si les atomes sont vu comme d’immenses vides du point de vue des particules qui le composent, leur volume intérieur néanmoins lui est rempli de champs de forces électriques et magnétiques extrêmement puissants qui assurent la solidité de la matière, et ces champs baignent dans l’espace vide à l’intérieur de l’atome.

atome vide

Les Champs

Il faut distinguer deux type de champs (scalaires et vectoriels):

  • Champs Scalaires: Prenons le cas de l’atmosphère à la surface de la Terre (on aurait aussi pu choisir l’océan). En tout point de l’atmosphère, un thermomètre ou un baromètre permet d’observer et de définir respectivement une température ou une pression. Il existe donc un champ de température et un champ de pression. Ces champs sont définis par une collection de nombres qui sont des quantités dites scalaires. Pourquoi ce mot ? Tout simplement parce que scala en latin signifie « échelle », « escalier » et que bien sûr quand la température monte, le liquide dans un thermomètre grimpe le long des graduations comme on franchirait les barreaux d’une échelle. Sur une carte de pression de l’air, comme sur une carte de niveaux (cartes de gradients), les points où la pression est la même peuvent être reliés par des lignes (les isobares).  El même chose pour la températures avec les isothermes.
  • Champs Vectoriels: Mais dans l’atmosphère, il existe aussi du vent. Pour caractériser le vent, on utilise des anémomètres qui mesurent une vitesse dans une direction et un sens donnés en chaque point de la Terre. Une intensité d’une grandeur, comme la vitesse, une direction et un sens c’est un vecteur pour un physicien. On a donc défini un champ vectoriel.

champ scalaire et champ vectoriel

Dans le cas de la pression/température atmosphérique et des vents, il y a un milieu physique, l’air, dont les variations de densité déterminent les champs, de sorte qu’on peut visualiser la réalité de ce modèle. Mais le concept de “champ” s’applique aussi même s’il n’y a pas de milieu matériel apparent. C’est le cas des champs gravitationnels, électriques ou magnétiques (champs vectoriels) qui représentent l’intensité, la direction et le sens de leurs forces respectives dans tout l’espace. Le champ gravitationnel de la Terre tapisse l’espace et attire les parachutistes en chute libre vers le sol, celui du Soleil maintient la Terre sur son orbite annuelle. On peut ainsi se représenter le champs gravitationnel comme une sorte de “tension” dans l’espace apparemment vide, qui se manifeste par des forces appliquées à des corps qui se trouvent dans le voisinage. La sphère d’influence de cette tension est appelée champ.

Ondes

La notion d’onde est liée directement à celle du champ. Il faut bien saisir la différence entre un champ et une excitation de champ, c’est-à-dire la différence entre l’océan et une vague sur l’océan. Si on agite un bâton sur la surface d’un étang calme (champ), une vague (onde) se propagera sur la surface. Cette onde correspond en réalité à la perturbation crée au sein des molécules d’eau, qui se mettent à se cogner entre elles en chaîne. Pour les tremblements de terre, ce sont des ondes de compression qui se propagent dans les couches terrestres. Les sons que nous entendons correspondent à des ondes de pression dans l’air qui font vibrer la membrane de notre tympan. Dans tous ces exemples, il y a un milieu bien identifié (eau, terre, air) dont la compression et dilatation créent l’onde. Mais quel est le milieu de propagation (qui oscille) d’une onde électromagnétique, comment une onde peut-elle se propager dans le vide?

onde dans l'eau

L’Ether

Lorsqu’un électron est au repos, il est entourée d’un champ électrique. S’il est accéléré ou secoué, une onde électromagnétique se crée et se propage dans l’espace jusqu’à rencontrer un nouvel électron qui sera à sont tour mis en mouvement et accéléré à l’arrivée de l’onde électromagnétique. Comme pour la vague sur l’eau et l’onde sonore, l’onde électromagnétique a transporté de l’énergie de l’émetteur au récepteur. Les champs magnétiques et électriques remplissent l’espace vide et leurs excitations sont les ondes électromagnétiquesEn théorie, les champs gravitationnels ont également la propriété d’être le siège d’ondes gravitationnelles. Mais il y a une profonde différence entre les ondes électromagnétiques/gravitationnelles et les ondes de type vagues sur l’eau ou sons dans l’air. La vitesse de déplacement des vagues sur l’eau dépend de la longueur d’onde (distance creux+bosse) et du milieu de propagation. Au contraire toutes les ondes électromagnétiques (et gravitationnelles) vont à la même vitesse, à la vitesse de la lumière. En résumé,  on a des ondes électromagnétiques et gravitationnelles capables de se déplacer à la vitesse de la lumière…mais dans quoi? Quel est ce milieu, ce soit-disant vide, qui est le siège de la propagation des ondes électromagnétiques et gravitationnelles. Si le vide est le siège de quelque chose, est-ce encore du vide? Depuis les grecs et Empédocle, en passant par Newton, et de nombreux scientifiques du XVIIIème siècle comme Euler, tous ces derniers ont émis l’idée de l’éther,  un milieu plus subtil que l’air qui remplirait tout l’espace. L’hypothèse de l’éther leur était bien utile, car elle répondait à l’énigme du milieu de transmission des ondes électromagnétique et plus particulièrement celui de la lumière. Les ondes électromagnétique ne se transmettraient pas dans le vide mais au sein d’une substance universelle présente partout que serait l’éther. Les idées sur l’éther proliférèrent durant de nombreux siècles jusqu’à qu’elles soient sérieusement remises en cause par la théorie de la relativité d’Einstein.

L’Espace

Espace

Aristote définissait l’espace par les corps qu’il contient. Il considérait les corps comme réels, mais pas l’espace. Pour lui des corps situés les uns par rapport aux autres définissent l’espace, et si on enlève les corps, alors selon Aristote on élimine aussi l’espace. Une telle vision implique que le vide ne peut exister, car en enlevant le contenu (matière), on enlèverait aussi son contenant (espace). Straton, un autre philosophe grec lui dit le contraire. Pour lui les corps se déplacent dans un espace vide bien réel. L’espace comme contenant existe bel et bien qu’il y ait quelque chose dedans ou non. S’il n’y a rien dedans, alors l’espace continue d’exister, mais entièrement vide. Newton suit aussi la même idée que Straton,  il pense que l’espace a une existence propre. Et son existence a quelque chose d’absolu, même en l’absence de corps. L’espace vide est ce qui reste quand on a enlevé tous les corps. L’absence de matière entraînerait aussi pour Newton l’absence de forces gravitationnelles. Newton considérait aussi que la vitesse de la lumière était infinie, que les informations pouvaient donc se transmettre à vitesse infinie, et que par conséquent la force de gravitation était supposée se propager instantanément. Pour Newton il en découle une notion de simultanéité: si deux événements se sont produits à la même heure pour un observateur, il en est de même pour tout autre observateur. Dans cet espace absolu de Newton les mesures de distance et du temps sont les même pour tous.

L’Espace-Temps

Einstein renonça aux idées de Newton. Il doutait sérieusement de la réalité d’un espace référentiel absolu.

Relativité Restreinte (1905)

Einstein avait compris que les mesures et perceptions d’espace et de temps étaient en réalité différentes pour des gens qui sont en mouvement les uns par rapport aux autres. Pour bien le comprendre, imaginez que vous êtes assis au milieu d’un train à l’arrêt et que vous envoyez un signal lumineux au conducteur qui est en tête du train et un autre au gardien qui est en queue du train. Ils recevront le signal au même instant. Le passager au milieu du wagon arrêté, tout comme un autre voyageur qui serait sur la quai de gare à la même hauteur que le passager au milieu du wagon constatent bel et bien que le conducteur et le gardien en queue de train reçoivent le signal en même temps. Maintenant, supposons qu’au lieu d’être à l’arrêt, le train se déplace à une vitesse constante. Lorsque le passager du milieu du train passe devant le voyageur attendant sur la quai de gare, un signal lumineux est à nouveau envoyé au conducteur et au gardien. Pour le passager se déplaçant avec le train, les deux signaux arriveront simultanément au conducteur et au gardien (car il se déplace avec eux). Par contre, du point de vue du voyageur sur la quai de gare, la réalité est bien différente: pendant le bref instant que prend la lumière pour aller du milieu vers la queue du train, la wagon de tête se sera éloigné et le wagon de queue se sera rapproché du voyageur sur la quai de gare. Du point de vue du voyageur sur le quai de gare, le signal parviendra au gardien avant d’arriver au conducteur. La simultanéité vue par quelqu’un à bord du train n’en est plus une pour quelqu’un resté au bord du quai. Newton est pris à défaut.

train-relativité

Ces phénomènes de modulations du temps peuvent s’appliquer exactement de la même manière à l’espace. Donc un observateur 1 qui se déplace à la vitesse v1 n’aura pas la même perception des intervalles d’espace et de temps qu’un observateur 2 qui se déplace à la vitesse v2. La mesure de l’espace et du temps dépend de la vitesse à laquelle se déplace l’observateur. Dit autrement il n’existe pas de règle ou chronomètre universel capable de mesurer les distances et les intervalles de temps de façon absolue.

Peinture de Salvador Dali mettant en scène des horloges fondantes représantant la dilatation du temps

Peinture de Salvador Dali mettant en scène des horloges fondantes représantant la dilatation du temps

Et c’est parce que la vitesse de la lumière a une valeur finie (qui ne dépend ni de la vitesse de la source ni de celle du récepteur) que la structure de l’espace et du temps dépend de notre vitesse. Mais heureusement c’est parce que la vitesse de la lumière a une valeur finie mais grande que nous ne remarquons pas ces phénomènes de contraction et dilatation de l’espace et du temps dans notre vie quotidienne (ils sont négligeables). Heureusement, moi, vous et votre voisin avons tous la même perception de l’espace et du temps quand nous roulons en voiture à des vitesses différentes.

Relativité Générale (1915)

Einstein a conçu sa théorie de la relativité restreinte grâce à des expériences de pensée mettant en jeu un rayonnement électromagnétique, la lumière. A la suite de quoi il fît de même pour la force de gravitation, ce qui le mena à sa théorie de la relativité générale. Dans cette théorie, il généralise son modèle d’espace et de temps appliqués initialement aux forces électromagnétiques (comme la lumière) et le rend compatible avec la force de gravitation. La structure de l’espace-temps est la même pour les deux interactions (gravitationnelle et électromagnétique). Il montre qu’en absence de matière l’espace-temps est plat. Quand de la matière est présente, l’espace-temps devient courbe. Dans la conception newtonienne, l’espace est un espace plat, dans lequel les parallèles ne se rencontrent jamais (géométrie Euclidienne). Dans un espace courbe de telles lignes se rencontreront (géométrie non euclidienne). Pour bien comprendre, il faut imaginer les méridiens (géodésiques de longitude) de la Terre qui sont parallèles, mais qui cependant convergent tous vers les pôles. La vitesse à laquelle cette convergence a lieu donne une mesure de l’intensité de la courbure de l’espace-temps. Si comme dans la conception newtonienne, la vitesse de la lumière avait une valeur infinie, alors l’intensité de la courbure de l’espace-temps deviendrait nulle, ce qui est une autre façon de dire que l’espace-temps est plat. C’est en accord avec l’image newtonienne d’un espace dans lequel les corps se déplacent sans affecter ni l’espace et ni le temps, ou des lignes parallèles ne se rejoignent jamais. Ce modèle d’espace newtonien s’inscrit donc, dans la théorie de la relativité générale d’Einstein, comme un cas particulier de celle-ci où la vitesse de la lumière est infinie. Pour Einstein, des signaux ne peuvent se propager plus vite que la vitesse de la lumière, et la simultanéité n’existe pas, tandis que pour Newton la gravitation agit instantanément, et la vitesse de la lumière est infiniment grande.

espace-temps

Einstein formalisa sa théorie de la relativité générale en reliant la courbure de l’espace-temps et le champs gravitationnel. C’est comme si le poids de la matière, des corps célestes distend et déforme la trame de l’espace-temps. Et ce sont les déformations de l’espace-temps qui sont responsables de l’action de la force de gravitation. Donc pour Einstein, il y a uniquement des mouvements relatifs de corps par rapport à d’autres qui par leur simple mouvement dilatent et rétrécissent l’espace et le temps. Pour Einstein les objets physiques ne sont pas dans l’espace, les objets physiques ont une étendue spatiale. Vu comme ça, pour Einstein, le concept d’ «espace vide» perd son sens.

Einstein formalisa les concepts d’espace et de temps en un seul espace à quatre dimensions (3 d’espace + 1 du temps). L’espace et le temps passent donc d’un statut d’entité absolue, uniforme et universelle (conception newtonienne) à un statut élastique et relativiste.  Petite réflexion au passage, la théorie de la relativité générale n’implique pas forcément qu’il n’y a pas d’éther, mais simplement que tout ce qui se trouve de cet éventuel éther doit se comporter selon les principes de la relativité. On pourrait légitimement imaginer que le champs électromagnétique que l’on ne peut pas voir à moins de le faire osciller est “une sorte de d’éther”. De manière analogue, on pourrait considérer le champs gravitationnel comme un éther qui deviendrait visible via les ondes gravitationnelles.

Ondes Gravitationnelles

Une des solutions, la plus simple, des équations d’Einstein dit que s’il n’y a pas d’énergie (matière), l’espace-temps n’a pas de courbure, et l’univers est plat. Une autre solution des équations nous dit qu’il peut exister un espace-temps sans énergie (matière), mais pas forcément plat pour autant. Cela peut paraître paradoxal, un espace-temps sans matière, mais tout de même déformé? Si dans l’espace-temps il se produit quelque chose qui engendre un changement brusque de la distribution d’énergie (matière), comme une explosion de supernova ou l’effondrement d’une étoile en un trou noir, des ondes gravitationnelles vont rayonner à la vitesse de la lumière. Si la cause matérielle à l’origine de ces ondes gravitationnelle disparaît, l’onde continue néanmoins de se propager. On peut donc imaginer une région de l’univers vide de matière mais dont l’espace-temps est animé de frissons d’ondes gravitationnelles, un espace-temps vide mais qui vibre. Et c’est l’idée du vide que se faisait Einstein.  Si on pousse le raisonnement à l’extrême, on peut imaginer qu’on retire tous les corps de l’univers sauf un seul, sa masse produira un champ gravitationnel qui s’étendra dans l’espace-temps tout entier (en diminuant avec le carré de la distance). On pourrait donc bien contempler une région de l’espace-temps dénuée de tout corps matériel, mais ce ne sera pas réellement du vide tant qu’il restera un seul corps n’importe où dans l’univers: le champs gravitationnel de ce corps lointain remplira tout l’espace vide . Si on analyse plus en détail la raison de l’existence possible d’un espace-temps vide mais qui ondule, ça tient finalement au fait que la vitesse limite et maximale autorisée pour la propagation d’information est la vitesse de la lumière, la propagation de tout type d’information, dont les ondes gravitationnelles, ne peut pas être instantanée (de vitesse infinie).

onde gravitationnelle

Comment détecter ces ondes gravitationnelles? Tout comme un tremblement de terre provoque des ondes à la surface de la Terre, perturbant les géodésiques de celle-ci, les ondes gravitationnelles provoqueraient des oscillations des géodésiques de l’espace-temps. Leurs effets peuvent être comparés aux marées, étirant et comprimant toute matière se trouvant sur le chemin de l’onde. Actuellement les scientifiques ont seulement des indications indirectes de l’existence de ces ondes gravitationnelles, et différents projets sont en route afin de pouvoir observer et effectuer des détections directes des ces ondes (LIGO, LISA). Les scientifiques cherchent à observer des ondes gravitationnelles provenant d’évènements cataclysmiques comme des collisions d’étoiles, de trous noirs, de supernovæ…

Le Vide Quantique

On a vu qu’à grande échelle un espace-temps vide mais qui vibre sous l’effet d’ondes gravitationnelles est compatible avec les équations d’Einstein. Et si on pouvait regarder le vide à toute petite échelle avec un microscope ultra-puissant, à une échelle si petite que la force de gravitation n’a plus aucun effet sur les particules élémentaires de la matière, que verrait-on dans ce monde quantique infiniment petit?

L’énergie du point zéro

Imaginez un petit volume de vide, disons un mètre cube d’espace intergalactique, dont on a retiré tout l’hydrogène et toute autre particule qui pourrait s’y trouver. Ce m3 d’espace peut-il être réellement vide de matière et d’énergie? Et bien dans le monde quantique, la réponse est non. Bien loin d’être sans contenu, le vide est toujours bouillonnant d’activité. En mécanique quantique, les particules élémentaires satisfont à des lois fondamentales plutôt étranges, on sait par exemple qu’on ne peut pas décrire exactement à la fois la position précise et la vitesse (mouvement) d’une particule. La mécanique quantique permet de mesurer exactement l’une ou l’autre de ces grandeurs, mais pas les deux à la fois! C’est le principe d’indétermination ou d’incertitude d’Heisenberg. Revenons à notre m3 d’espace auquel on enlevé toutes les particules, cela revient à dire que l’on sait précisément qu’il n’y a aucune particule en n’importe quel point de cette espace, on a donc une information précise sur la position (il y aucune particule en aucune position), ce qui, selon les lois quantiques, nous amène à dire que l’on ne connaît rien sur le mouvement et l’énergie présente dans ce m3 d’espace. On peut enlever toute matière et toute masse, l’indétermination quantique nous dit qu’il y aura tout de même de l’énergie, l’énergie ne peut être nulle. On ne peut à la fois avoir une quantité de matière nulle et une énergie nulle, on peut avoir l’un ou l’autre, mais pas les deux à la fois. Ces idées nous amènent à des situations plutôt bizarres. Pour mieux le comprendre, on peut imaginer un pendule quantique constitué d’un petit aggrégat de molécules suspendus à un fil d’atomes et oscillant comme un pendule classique. Selon les lois quantiques, un tel pendule quantique ne pourra jamais arriver à un état de repos où il resterait pendu immobile verticalement. Un pendule quantique, lorsqu’il se trouve en son point le plus bas (énergie potentielle nulle), le mouvement est indéterminé (son énergie cinétique ne peut pas être connue), il oscillera donc légèrement autour du point le plus bas. Inversement si le pendule est au repos (énergie cinétique nulle), son énergie potentielle et donc sa position sont indéterminés, et il oscillera légèrement de position de haut en bas. La mécanique quantique impose que la somme de l’énergie cinétique et énergie potentielle ne peut descendre en dessous d’un minimum: les deux ne peuvent être simultanément nulles. Au mieux on peut dire qu’il existe une quantité d’énergie minimum, connue comme l’énergie du point zéro

pendule quantique

Dans la nature, le mouvement des molécules dans la matière est à l’origine de ce que nous appelons la température (plus la température est élevée, plus l’agitation des molécules est grande), et nous sommes constamment entourés de particules excitées qui passent d’un état énergétique à un autre et qui rayonnent de l’énergie. Par exemple un objet qui est chauffé augmente sa température et va émettre de la chaleur, il va donc rayonner de l’énergie. Si on regarde comment se comportent les atomes de l’objet qui a été chauffé, on voit que les électrons passent d’un état énergétique stable à un état énergétique excité en rayonnant de l’énergie. Si au contraire on refroidit l’objet, la théorie quantique nous dit que c’est impossible d’atteindre le zéro absolu en température (0°K / -273°C), une situation où toutes les particules sont gelées en position, sans mouvement et sans énergie est impossible. Il existera toujours une énergie intrinsèque du point zéro, même lorsqu’on s’approche du zéro absolu en température. Retirer ou éliminer des particules de matière pour obtenir du vide est une terminologie qui ne fait pas vraiment de sens dans le langage quantique. Le vide quantique est en réalité rempli de particules mais toutes se trouvant dans leur état énergétique minimal, le plus petit possible, dans une configuration d’énergie la plus basse possible. C’est un état fondamental dans lequel on ne peut plus retirer aucune énergie supplémentaire aux particules.

Le vide quantique est donc l’état dont l’énergie est la plus petite possible, un état fondamental d’énergie qui sera néanmoins toujours soumis à des fluctuations énergétique, qu’on appelle fluctuations quantiques.

On peut se représenter le vide comme une mer (quantique) bouillonnante d’ondes électromagnétiques, contenant toutes les longueurs d’ondes possibles, en allant des minuscules longueurs d’onde même plus petites que l’échelle atomique jusqu’à celle ayant une longueur d’onde à l’échelle cosmique. Le point zéro correspondrait à la surface de cette mer quantique, en moyenne la surface de la mer est plane (en moyenne il n’y a aucun champ électromagnétique, dit autrement c’est un milieu statistiquement sans particules élémentaires), mais en réalité cette mer est agité constamment par les vagues (oscillations) des ondes électromagnétiques de tout les longueurs d’ondes possibles (fluctuations quantiques).

L’Effet Casimir

Mais alors comment se convaincre de la réalité de l’énergie du point zéro, et que ce n’est pas un artéfact mathématique. Vous pouvez commencer d’abord par réécouter le dossier Zéro et Infini, l’histoire d’amour de Nicotupe, dossier dans lequel il nous explique qu’un monde où le zéro est présent ne peut exclure l’infini! Dit autrement que le vide ne peut exclure de l’énergie. Mais plus concrètement c’est le physicien Hendrik Casimir qui suggéra et prédit en 1948 l’existence de l’énergie du vide via un effet, qu’on appelle effet Casimir, qui a pu être démontré expérimentalement en 1996. Plaçons dans le vide deux plaques de métal légèrement séparées et parallèles entre elles. Une force attractive commencera à les attirer l’une vers l’autre. Il existe bien sûr une attraction mutuelle due à la gravitation, mais cette force est insignifiante et négligeable à l’échelle quantique. Cette attraction en réalité est due à l’effet Casimir qui résulte de la façon dont les plaques ont perturbé les ondes remplissant le vide quantique. Les métaux conduisent l’électricité, et cela affecte toutes les ondes électromagnétiques présentes dans le vide à l’énergie du point zéro. La théorie quantique nous dit que entre ces deux plaques il ne peut exister que des ondes ayant exactement un nombre entier de longueurs d’ondes. Seules les ondes accordées à l’intervalle entre les plaques pourront exister et vibrer, alors qu’au dehors des plaques toutes les longueurs d’onde peuvent exister. Dit autrement, il manque certaines ondes (photons) entre les plaques, il y a donc moins de pression sur l’intérieur des plaques que sur leurs faces extérieures. Il en résulte une force globale qui les rapproche. Quand les plaques sont trop éloignées cette force disparaît, inversement cet effet Casimir augmentera quand les plaques sont très proches. Cette force a été mesurée et l’effet Casimir vérifié. Le modèle d’énergie du point zéro dans le vide a donc été confirmé expérimentalement.

Effet Casimir

L’effet Casimir montre qu’un changement de l’énergie du point zéro peut être bien réel, qu’il peut être mesuré. Même si l’énergie du point zéro elle-même n’est pas accessible, on peut en connaître sa variation sous certaines conditions. Bien que l’énergie du vide est l’état minimum d’énergie que peut avoir un système, la quantité d’énergie au point zéro est néanmoins infinie. D’ailleurs les effets d’agitation énergétique du point zéro peuvent être ressentis par des particules traversant le vide. Par exemple, un électron d’un atome d’hydrogène en vol oscille légèrement lorsqu’il ressent l’agitation du point zéro des champs électromagnétiques, il passera d’une orbite à une autre (d’un état énergétique à un autre). La différence énergétique entre ces deux orbites rayonnera de la lumière, ce rayonnement lumineux est une indication des fluctuations quantiques du point zéro.

La Gravitation Quantique

La mécanique quantique produit des formulations précises pour les phénomènes infiniment petits, à l’échelle subatomique, mais elle ignore complètement les effets de la force de gravitation, qu’elle considère comme négligeable et insignifiante à l’échelle quantique. Les scientifiques n’arrivent pas à combiner la mécanique quantique (décrit le monde microscopique) et la théorie de la relativité générale (décrit le monde macroscopique) en une théorie unifiée cohérente et expérimentalement vérifiée. Néanmoins ces deux théories sont chacune valide dans leur domaines respectifs. Le problème qui se pose c’est qu’au tout début de l’univers, celui-ci était si petit, si dense, si compressé et si compact, que la force de gravitation devait être prédominante et agir au niveau quantique. De nombreux physiciens travaillent actuellement sur une théorie de la gravitation quantique, ayant pour objectif d’unifier la mécanique quantique et la relativité générale. La gravitation quantique nous dit que les fluctuations quantiques apparaissent aussi dans la trame de l’espace-temps d’Einstein.

La Mer de Dirac

Le physicien Paul Dirac (dont j’avais déjà parlé dans le dossier sur l’Origine de l’Univers) fut le premier à prédire en 1931 l’existence d’une autre particule, identique à l’électron, mais ayant une charge électrique opposée (positive) qui a été baptisée le positron (anti-électron). Il bâtit un nouveau modèle du vide faisant apparaître cette nouvelle particule d’antimatière qu’est le positron. Paul Dirac suggéra que l’on considère le vide quantique pas seulement comme une mer dans laquelle baigne une infinité d’ondes, mais comme une mer remplie d’électrons, de profondeur infinie, présente constamment partout, calme et indécelable tant que rien ne la perturbe. Chaque électron remplissant la mer de Dirac occuperait un niveau d’énergie propre, s’étalant sur une échelle allant de l’infini négatif (fond de la mer) jusqu’à une certaine valeur maximale (surface de l’eau). Cette valeur maximale étant considérée comme le « niveau de la mer », autrement dit l’état fondamental, le point zéro d’énergie du vide. Ce paisible « océan électronique » resterait virtuel et indétectable tant que rien ne le perturbe.

Mer de Dirac

Mais on sait depuis la fameuse équation d’Einstein E=mc2, que la masse (matière) peut être produite à partir d’énergie. Si tout d’un coup les fluctuations d’énergie du vide dépassent un certain seuil d’énergie (si une vaguelette se transforme en vague), une paire d’électron et positron peut émerger spontanément. Cela veut dire que les fluctuations d’énergie du vide peuvent spontanément se transformer en électrons et positrons (sous certaines condition d’énergie et de temps). Plus précisément, une fluctuation quantique peut éjecter un électron de cette mère infinie de Dirac, ce qui laisse un “trou” dans la mer d’énergie négative. L’absence d’un électron chargé négativement par rapport au niveau de la mer se traduit par un trou d’énergie positive par rapport au niveau de la mer, c’est-à-dire par l’apparition d’une particule dotée d’énergie positive, le positron. On ne peut malheureusement pas observer la transformation des fluctuations quantiques du vide en électrons et positrons, mais on peut par contre mettre en évidence ce phénomène lorsqu’on fournit volontairement un tout petit peut d’énergie supplémentaire au vide, comme par exemple si on bombarde le vide (par ex. le champs électrique d’un atome) avec un photon de lumière (d’énergie égale à deux masses électroniques 2mc2), et bien dans ce cas on observe (indirectement) qu’une paire de positron-électron est bien créée spontanément pendant une durée de vie très courte (10 puissance – 21seconde).  Ce mécanisme est à l’origine de l’apparition de ce qu’on appelle de paires de particules virtuelles. Le vide est le siège de matérialisations spontanées et fugaces de particules et de leur antiparticules associées qui s’annihilent presque immédiatement après leur création. Le vide est rempli de particules virtuelles apparaissant pendant un temps très bref avant de disparaître.

Mer de Dirac - Trou   positron

Pour Dirac, le vide serait donc rempli de particules virtuelles qui peuvent émerger et se matérialiser sous l’effet de fluctuations d’énergie du vide, laissant derrière elles des trous d’antiparticules. On sait aujourd’hui que non seulement la paire électron-positron, mais également les quarks et d’autres particules remplissent virtuellement cette mer sans fond, qu’on peut voir comme un entrepôt infini qui nous approvisionne en particules matérielles. Le vide contient une “mer” infiniment profonde de particules fondamentales. Dans cette interprétation le vide devient un milieu. Et cela implique des conséquences d’une portée considérable: si le vide est un milieu comme le décrit Dirac, on peut imaginer que l’on puisse ajouter quelque chose au vide afin d’abaisser son état fondamental d’énergie. On obtiendrait alors un nouvel état du vide plus vide que l’état du vide antérieur. Une transition entre ces deux états du vide est appelé changement de phase. Les scientifiques pensent qu’un changement de phase du vide ai pu avoir lieu au cours de l’histoire de l’univers. Il se peut donc que la nature du vide ai pu ne pas être la même au fil de l’évolution de l’univers! 

Le Vide de Higgs

Le modèle standard de la physique des particules veut que dans l’univers primordial l’état du vide avait au début une phase symétrique où toutes les forces agissaient avec la même intensité, et étaient de ce fait unifiées (10 puissance -31 mètre). Quand l’univers s’est refroidi, des transitions de phase se seraient produites et l’état symétrique du vide a été remplacé par des états de plus en plus asymétriques, amenant la séparation des forces en intéractions forte, faible et électromagnétique. La structure quantique de la nature donnerait donc la possibilité à un système dans un état stable de haute énergie de choisir un état d’énergie plus bas dans lequel la symétrie est spontanément brisée. Les formes prises par les particules et les forces qui nous gouvernent seraient donc des résidus accidentels de la brisure de symétrie provoquée par le refroidissement (“gel”) de l’univers (à une température d’environ 10 puissance 17 degrés).

La question qui se pose est que les bosons W et Z (particules qui véhiculent l’intéraction faible) ont une masse, alors que les photons (véhicule de la force électromagnétique) et les gluons (véhicule de l’intéraction forte) n’en ont pas. On pense que la réponse est due à une propriété du vide, et c’est Peter Higgs qui a élaboré cette théorie, le même qui a prédit l’existence du boson de Higgs. Dans cette théorie, le vide baigne dans le champs de Higgs, responsable de donner la masse aux particules élémentaires comme les bosons W et Z, quarks…(à écouter l’épisode de la 100ème de PodcastScience et le dossier sur le boson de Higgs). En l’absence du champ de Higgs, les particules ne peuvent pas être arrêtées et se déplaceraient toutes à la vitesse de la lumière. Mais l’espace est rempli par le champ de Higgs, ce qui a pour conséquence de fraîner la vitesse de certaines particules et de leur attribuer une masse (les photons eux n’interagissent pas avec le champ de Higgs et se déplacent donc à la vitesse de la lumière). De la même manière que les ondulations des champs électromagnétiques produisent les photons, le champ de Higgs se manifeste sous forme de boson de Higgs. Mais le boson de Higgs qui est l’expression du champ de Higgs sous forme de particule a-t-il une masse? On est pas loin du problème de l’oeuf et la poule. Le boson de Higgs ressent aussi lui-même le champ de Higgs partout présent et a donc une masse.

Le vide de Higgs est une approche qui est profondément différente de celle du vide quantique. On a vu que le vide quantique est rempli d’ondes électromagnétiques, avec des fluctuations d’énergie autour du point zéro qui peuvent se matérialiser en nouvelles particules si l’énergie nécessaire est fournie. Le vide de Higgs lui est rempli du champs de Higgs. L’espace vide sans le champ de Higgs aurait plus d’énergie que lorsque le champ de Higgs est présent. Autrement dit, si on met un champ de Higgs dans le vide, l’énergie globale est diminuée. Le vide baigné par le champ de Higgs n’est l’état de plus basse énergie qu’à des températures suffisamment “basses” (10 puissance 17 degrés)! Au dessus de cette température, la théorie indique que l’état fondamental de l’univers n’inclut pas le champ de Higgs.

A ses tout débuts, l’univers était extrêmement chaud et dense (bien plus chaud que 10 puissance 17 degrés) et le champ de Higgs n’existait pas, et c’est soudainement, lorsque l’univers s’est suffisamment refroidi, que le champ de Higgs a rempli le vide et a donné la masse aux particules.

Conclusion

Les dernières théories physiques suggèrent que notre univers tel qu’on l’observe actuellement “serait” apparu suite à une fantastique fluctuation quantique du vide. En se refroidissant le vide serait passé par une transition de phase dans laquelle le champ de Higgs se serait figé et les particules auraient pu ainsi acquérir de la masse. Le vide n’a donc pas toujours été le même au cours de l’évolution de l’univers!

On voit que la science moderne postule qu’il est impossible de faire un vide complet. L’espace vide sera toujours remplie d’énergie. Il ne peut exister quelque chose de littéralement vide. Finalement les philosophes grecs n’avaient pas totalement tort, la nature semble avoir horreur du vide.

Cependant, à mesure que la science apporte des réponses, elle fait surgir de nouvelles questions encore plus profondes et fondamentales. Pour ma part et à titre personnel un certain nombre de questions restent encore ouvertes:

  • D’où vient la potentialité quantique du vide? Pourquoi le vide est-il régit par les lois quantiques et non par des lois d’une autre nature? L’univers met-il en place des lois à sa mesure? Si l’univers est immanent, on peut alors penser qu’un autre univers pourrait être régi par d’autres lois, et que le vide y serait de nature différente. Si au contraire les lois physique sont transcendantes, alors elles sont les mêmes pour tous les univers possibles et les lois qui régissent le vide sont les mêmes partout.
  • Dans quoi l’univers existe-t-il et est-il en expansion?
  • Si on peut définir le rien comme l’absence de quelques chose, alors pourquoi le quelque chose (notre/nos univers), plutôt que le rien (un monde réellement vide d’énergie et de toute chose)?

Sources:

Qu’est ce que le vide?Frank Close

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vide

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mer_de_Dirac

http://www.futura-sciences.com/fr/news/t/physique-1/d/non-le-boson-de-higgs-nexplique-pas-la-masse-du-soleil_39947/

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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/Navstar-2.jpgPodcast Science 91, Marco
4 octobre 1957, les États-Unis prennent un énorme coup de massue: L’URSS vient d’envoyer dans l’espace le premier satellite de l’histoire de l’humanité, un oiseau qu’on appelait Spoutnik (Claude François sort de ce corps…) Cet événement lance véritablement la course à la conquête spatiale. Depuis, ce sont plus de 6000 satellites qui ont survolé nos têtes.

» Dossier “Satellites” composé par Marco

» Coup de gueule de Jorj Mc Kie sur le diesel cancérogène

La Quote de la semaine

“A l’heure où les satellites traversent toutes les frontières, les langues, les idéologies, il est impossible de créer une société hermétique.” – Allan Bay

Et voilà pour cette semaine ! Merci à tous nos poditeurs !

 

Podcast Science vous lance sur orbite

On 21.06.2012, in Dossiers, by Marco
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Le 4 octobre 1957, c’est le choc pour les Etats-Unis: l’URSS lance la course à l’espace en mettant en orbite le premier satellite artificiel, Spoutnik 1. Il s’agissait d’une sphère de 58 cm de diamètre pesant 83,6 kg. Il fut placé sur une orbite elliptique à une altitude comprise entre 225 (périgée) et 947km (apogée) et faisait le tour de la Terre en environ 98 minutes.

Quelle était sa fonction? Tout simplement d’émettre un bip sur les fréquences radio de 20 à 40Mhz

Pour écouter ce bip:

 

 

Spoutnik

Reproduction de Spoutnik

Schema de Spoutnik

Schema de Spoutnik

l’étude de ses signaux devait  permettre d’étudier la propagation des ondes dans l’atmosphère et l’étude de sa trajectoire devait fournir des informations sur la densité de la haute atmosphère et sur la forme exacte de la Terre.

Les appareils électriques du satellite ont fonctionné pendant vingt-deux jours après le lancement, jusqu’à l’épuisement des batteries le 26 octobre 1957. Ensuite la trajectoire a été surveillée de manière optique et le 4 janvier 1958, Spoutnik est entré dans l’atmosphère et s’est consumé après avoir fait 1400 fois le tour de la Terre.
Entre temps les soviétiques ont déjà envoyé Spoutnik2, 1 mois seulement après Spoutnik1. Nikita Khrouchtchev , à l’époque premier secrétaire du parti communiste soviétique, avait exigé le lancement d’un second satellite en guise de célébration des 40ans de la révolution russe. Le satellite a donc été construit en seulement 4 semaines dans l’urgence. Mais ce satellite avait une également particularité: à son bord se trouve un être vivant, le premier être vivant à être envoyé en orbite, la fameuse chienne Laïka. Malheureusement l’histoire s’est mal terminée pour cette chienne, qui est morte 7 heures après le lancement. Elle serait morte de stress et de surchauffe à cause d’une défaillance dans le système de régulation de température. Mais elle prouva qu’un être vivant pouvait survivre en impesanteur.
Tout juste un mois après la destruction de Spoutnik1, les États-Unis lancent leur premier satellite Explorer1, en février 1958.
La France lancera Astérix son premier satellite fin novembre 1965.
Et le 12 avril 1961 les soviétiques envoient le premier homme dans l’espace, Youri Gagarine,  lors de la mission Vostok 1

Vostok 1

Reproduction de Vostok1

Depuis ce sont plus de 6000 satellites qui ont été mis en orbite.

Et pour la Suisse? Le premier satellite Suisse se nomme SwissCube et a été lancé en…2009. C’est un tout petit satellite de 800 grammes, muni d’un petit télescope. Mais il est l’œuvre d’un groupe d’étudiants qui viennent de différentes universités Suisses, dont l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne. Enfin, pour être complet sur les satellites Suisses en orbite, sachez qu’il y en a un deuxième qui a été lancé en Juillet 2010, par un groupe d’étudiants encore une fois, d’une Université en Suisse Italienne (SUPSI) (994 grammes pour celui-ci)

 

Lancement et trajectoire d’un satellite

Qu’est-ce qu’une orbite? En première définition, il s’agit de la trajectoire que suit un astre ou un satellite artificiel lorsqu’il est en mouvement autour d’un objet céleste de plus grande masse que lui. Cette trajectoire n’est pas aléatoire, mais résulte des lois de la gravitation. En guise de bref rappel, ou d’information pour ceux qui ne seraient pas familiers avec cette partie de la physique, rappelons que Newton avait stipulé que les corps s’attirent grâce à une force, la force gravitationnelle, qui est proportionnelle à leur masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance.C’est-à-dire une force qui suit une loi en carré inverse.

loi en carré inverse

Concrètement, tous les objets de l’univers possédant une masse crée un champ de force gravitationnel, même vous! Vous ne vous en rendez pas compte car votre masse est très faible devant la constante gravitationnelle. En effet G vaut 6,67.10^-11 N.m2.kg-2. Donc même s’il est extrêmement petit, ce champ de force que l’on crée par  notre masse, existe bel et bien. Le champ de force qui résulte de la masse de la Terre est bien plus important. Tellement plus important que nos muscles se fatiguent tous les jours à le vaincre pour nous maintenir debout et qu’il nous ramène au sol lorsque l’on saute. On pourrait alors se demander pourquoi les satellites ne retombent pas vers la Terre eux aussi, puisqu’ils sont également soumis au champ de gravité terrestre? En réalité ils retombent bien vers la Terre! Pour mieux comprendre, prenons l’expérience de pensée du “canon de Newton”: Imaginons un canon tirant des boulets, et négligeons les forces de frottement dues à l’atmosphère (Une fois lancés, les boulets conservent donc leur vitesse initiale). En augmentant progressivement la vitesse d’impulsion donnée au départ au boulet, celui-ci va retomber de plus en plus loin. A partir d’une certaine vitesse, l’objet chute mais sans jamais atteindre le sol du fait de la courbure de la Terre. A chaque instant l’élévation d’altitude due à la courbure de la Terre est compensée par la perte d’altitude due au champs gravitationnel terrestre. Le boulet est alors dit “satellisé” et chute en permanence vers la Terre sans jamais s’en rapprocher.

Canon de Newton

A chaque altitude correspond une vitesse, dite “vitesse de satellisation” qui est la vitesse minimale que doit posséder un satellite pour rester en orbite à cette altitude autour d’un astre. Cette vitesse dépend donc de la distance par rapport au centre de l’astre et de la masse de l’astre (La formule est: V=Rac(GM/D)) Par exemple pour la Terre, la première orbite théoriquement utilisable se trouve à 200km d’altitude (à cette altitude, nous sommes au-dessus de l’atmosphère. Les satellites en orbite ne subissent alors plus de force de frottement qui les ralentirait) A cette altitude, la vitesse de satellisation vaut environ 7,8km/s. Cette vitesse est souvent appelée “première vitesse cosmique”

Si le satellite est lâché sur une orbite donnée avec une vitesse inférieure à cette vitesse de satellisation, l’objet va alors retomber sur Terre.

Dans le cas d’une vitesse égale à la vitesse de satellisation, la trajectoire décrit un cercle.

Si la vitesse est plus élevée, l’objet va alors décrire une ellipse, c’est à dire que sa distance par rapport à l’astre ne reste pas constante et varie entre un minimum qu’on appelle le périgée, et un maximum qu’on appelle l’apogée. Plus la vitesse (tangentielle) sera élevée, plus l’apogée se situera loin. Vous vous doutez alors, qu’il existe une vitesse à partir de laquelle l’apogée se trouve si loin, que le corps en orbite se retrouve alors arraché de l’attraction gravitationnelle de l’astre. Cette vitesse est appelée vitesse de libération. Elle est de 11km/s pour une orbite à 200km d’altitude

Une fois en orbite, la trajectoire du satellite va alors dépendre des 3 lois de Kepler.Ces lois ont été établi par Joannes Kepler en 1609 suite aux analyses des observations astronomiques de Tycho Brahé.

Tout d’abord il en a déduit une 1ere loi (loi des orbites) qui dit que l’orbite d’un satellite a la forme d’une ellipse dont un des deux foyers se trouve au centre du corps céleste autour duquel il gravite. (Une orbite circulaire est un cas particulier de l’ellipse où les deux foyers sont confondus au centre du cercle). Dit autrement et dans le contexte du système solaire, cela donne simplement: “Les planètes décrivent une ellipse, dont le soleil est l’un des foyers”

La 2e loi, la loi des aires, nous dit ensuite que la droite qui relie le centre de l’astre au satellite, balaie toujours une aire égale dans un intervalle de temps donné. Appliqué au système solaire, le rayon Soleil-planète balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux. La conséquence est donc qu’en parcourant son ellipse, plus le satellite sera loin de l’astre, plus lente sera sa vitesse (Puisque le segment [Astre-Satellite] balaie une plus grande surface, il doit le faire plus lentement)
Par exemple, pour la Terre, son périhélie(=point de l’ellipse où la Terre est la plus proche du soleil) est atteint entre le 3 et le 5 janvier (en 2012 ce fut le 5 janvier à minuit).
A cette date, la Terre est à 0,983 ua (la distance est donnée en unité astronomique, 1 unité astronomique étant la moyenne temporelle de la distance Terre-soleil. 1ua= 149 597 870,691 km), sa vitesse est alors de 30,4 km/s
Le 5 juillet 2012 à 3:00, elle sera à son aphélie. Sa distance sera alors de 1,017 ua et sa vitesse sera de 29,4km/s
Loi des aires

Enfin la 3e loi, la loi des périodes, stipule que la période de rotation du satellite autour du corps varie comme le cube de la longueur du grand axe de l’ellipse. Si T est la période et a le grand axe de l’ellipse (=la plus grande distance entre l’astre et le satellite) alors T^2 est proportionnel à a^3. Ainsi si l’on connait la période d’un satellite, on en déduit sa distance à l’astre et inversement.

A partir de ces lois de Kepler, on arrive à déterminer la trajectoire et donc la période orbitale (intervalle de temps compris entre deux passages consécutifs d’un satellite par un point de son orbite) et la vitesse orbitale (vitesse du satellite par rapport au centre de la planète) d’un satellite.

Le calcul nous donne par exemple une vitesse de 3km/s pour une orbite géostationnaire.

 

Catégories de satellites

La mise en orbite d’un satellite présente des avantages suivant le domaine d’application.

  • Satellite de télécommunications: Ce sont des satellites utilisés uniquement pour transmettre des informations d’un point à un autre de la Terre, que ce soit des communications téléphoniques ou des transmissions de données (Ce que permettent des réseaux de téléphonie par satellite comme Globalstar, Iridium ou Thuraya), ou encore des programmes télévisés.Ces derniers transitent principalement par la flotte d’Intelsat (flotte de 51 satellites) Eutelsat (Hot-Bird, Atlantic Bird 3, W1, W2, W3) et celle de la SES ou Société Européenne de Satellites, Astra 1 et 2. Ce sont ces satellites qui émettent les bouquets de chaînes payantes reçues sur nos paraboles. Ils sont situés sur une orbite particulière qu’on appelle l’orbite géostationnaire (environ à 36 000km d’altitude), qui comme son nom l’indique, est une orbite où le satellite reste toujours au même endroit par rapport à la Terre. On comprend que pour éviter d’avoir à régler en permanence nos antennes paraboliques, cette orbite a un intérêt non négligeable pour les satellites de communications…
  • Satellite de télédétection: Ces satellites d’observation  scrutent la Terre dans un but scientifique (température de la mer, évolution du manteau neigeux, zone de sécheresse, suivi des aérosols en suspension dans l’atmosphère etc.), économique (ressources naturelles, agriculture, etc.) ou militaire (satellite-espion). Comme exemple on trouve la famille de satellites de METEOSAT qui fournissent des données pour observer les phénomènes atmosphériques et nous permet de faire des prévisions météorologiques. En général les satellites de télédétection ont une orbite orbite héliosynchrone. Ce sont des orbites dans le plan polaire dont l’altitude (qui est typiquement entre 600 et 1000km) et l’inclinaison (proche de 90°) sont choisis de façon à ce que l’angle entre le plan d’orbite et la direction du soleil reste à peu prés constant. Ainsi sur une telle orbite le satellite repasse au dessus du même point de la surface, à la même heure et donc avec le même éclairement de la zone observée.

    Le satellite Pléiades-1

    Pratique pour des satellites qui effectuent des photographies en lumière visible dans le but d’observer des variations, comme la flotte de satellites SPOT qui photographie la planète depuis plus de 20ans, ou le tout nouveau Pléiades-1 . Par contre d’autres satellites comme ceux de METEOSAT se situent plutôt sur une orbite géosynchrone afin d’observer une même zone.

Hubble

Il y a également le satellite européen Planck qui traque des informations concernant les origines de l’univers (comme le “bruit de fond cosmologique” c’est-à-dire le rayonnement fossile de la toute première lumière de l’univers, émise 380 000 ans après le Big Bang)

Enfin, comment ne pas citer les stations spatiales, qui sont habitées par l’homme, tout le long de leur durée de fonctionnement. Aujourd’hui on connait la Station spatiale internationale , sa construction a débuté en 1998, et elle est occupée en permanence depuis 2002.

Par le passé les américains possédaient également la station Skylab (lancée en 1973 et désintégrée en 1979 en rentrant dans l’atmosphère) Et côté Russe il y eu d’abord les stations Saliout (7 envoyées entre 1971 et 1991, dont 6 qui ont été réellement occupé), puis la fameuse station Mir, en orbite de 1986 à mars 2001.

Les débris spatiaux, pollution extra-atmosphérique

Une chose à laquelle on pense moins, c’est au devenir de tout ces engins qu’on envoie dans l’espace.

Si beaucoup de matière retombent sur Terre ou se désintègrent dans l’atmosphère, ou sont envoyés vers des orbites dites “poubelles” ou orbite de rebut, une grosse partie erre sur les orbites usuelles. Et il y en a un nombre tellement important que les orbites terrestres commence à ressembler à des décharges orbitales.

La NASA estime qu’il y aurait plus de 22 000 objets ou fragments de plus de 10cm, mais plusieurs millions si l’on compte les fragments plus petits! Ces objets sont des satellites à l’abandon, des fragments de satellites ou encore des morceaux provenant d’explosion d’engins spatiaux (et dans ce cas ce sont plusieurs milliers de débris qui sont éparpillés)

Debris sur l'orbite basse

Cartographie des débris en orbite basse

Ces objets représentent bien sûr un danger. Quand ce n’est pas le danger qu’ils retombent sur Terre, le plus gros danger sont les risques de collisions avec les satellites en activité, les fusées qui couperaient leur trajectoire, voire des débris entre-eux (ce qui engendre également de nouveaux débris et donc accroit encore plus les risques). Ces objets peuvent aller à des vitesse de 30 000km/heure!

En octobre 2008, une opération de rehaussement de l’orbite de la Station Spatiale Internationale avait d’ailleurs été reporté de quelques jours à cause d’un nuage de débris se trouvant sur la nouvelle orbite, que la station aurait pu croiser.

Les probabilités de collisions sont encore très faibles, mais cela est pourtant arrivé en février 2009, le satellite d’une société Américaine, Iridium33 (un beau bébé de 560kg) est entré en collision à une altitude de 790km, avec un satellite russe hors service (Cosmos 2251, qui faisait lui un bon 900kg). Ce sont donc plusieurs milliers de débris qui se sont éparpillés sur les orbites voisines.

L’existence de cette pollution spatiale est donc non négligeable et il faut vraiment la prendre en considération avec une énorme attention.

Heureusement, nos amis Suisses sont là, et on en revient à parler de l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne puisque des chercheurs de cette Grande Ecole, ont pour projet de concevoir une espèce de “satellite éboueur” pour nettoyer les orbites terrestres les plus encombrées.

Ce projet a été annoncé très récemment en février 2012, et un premier prototype, le Clean Space One, est en cours d’étude au sein du Swiss Space Center. Il aura pour but d’aller récupérer le satellite SwissCube (vous vous souvenez? Le premier satellite Suisse!), puis de redescendre avec lui et d’aller brûler dans l’atmosphère.

Vidéo: Clean Space One

La réalisation est prévue entre 2015 et 2017, tout dépendra du financement obtenu, puisque c’est un projet qui coûte quand même 8 millions d’euros. C’est une somme, mais ce projet sera certainement à l’origine de nombreux autres projets du même type, car même si la construction de satellites éboueur est couteux, les enjeux économiques sont bien plus importants, puisque l’augmentation du risque de collision aura pour conséquence l’augmentation du coût des assurances sur les satellites (qui s’élève à 20 milliards de dollars pour un satellite de communication) et par ricochet, l’augmentation du prix des services par ces satellites…

Enfin pour conclure sur ce dossier, il faut savoir que certains des satellites en orbite sont observables à l’œil nu et notamment la station ISS. De nombreux sites ou logiciels fournissent les éphémérides (UNE éphéméride), c’est à dire des tables astronomiques qui fournissent pour chaque jour les positions des astres et objets célestes comme Heavens-Above, CalSky, Celestrak.

 

sources: http://www.astrosurf.com/luxorion/satellites-artificiels.htm

http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=2668

http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/414-une-courbe-particuliere.php

http://www.sciencesetavenir.fr/espace/20120216.OBS1562/cleanspace-one-profession-nettoyeur.html

http://www.sciencesetavenir.fr/espace/20090212.OBS4459/collision-inedite-de-deux-satellites.html

http://www.voyage-univers.com/2012/05/06/les-debris-spatiaux-veritable-pollution-extra-atmospherique/

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Cette semaine, il s’agit de poser le décor et d’expliquer dans quel contexte la théorie des cordes s’inscrit. La théorie elle-même sera abordée la semaine prochaine.

Un peu d’histoire d’abord:

Newton

Newton au XVII ème siècle a découvert la force de gravitation:

  • il comprend comment calculer la force de gravitation (F=mg).
  • il ne comprend pas comment elle fonctionne, quel en est le mécanisme fondamental, son essence.

Comme on le verra un peu plus tard, c’est ce qui va pousser Einstein à tenter de répondre à cette question pour comprendre comment fonctionne la gravitation

Selon la loi de la gravitation universelle de Newton:

  • le champs de gravitation du soleil maintient les planètes en orbite autour de lui.
  • si le soleil s’éteint, sa force de gravitation disparaît et les planètes sortent instantanément de leur orbite pour dériver dans l’espace.

Einstein

Selon la théorie de la relativité générale d’Einstein (1907):

  • rien ni la force de gravitation ne peut voyager plus vite que la lumière (300’000 km/s)
  • et la lumière met 8 minutes pour arriver à la Terre depuis le Soleil.
  • Comment donc la Terre pourrait-elle quitter son orbite instantanément (selon Newton) avant que l’obscurité n’arrive à la Terre?

Einstein propose une nouvelle approche de la force de gravitation pour résoudre ce conflit, en résumé:

  • il dit que le médium qui transmet la gravitation, c’est l’espace lui-même
  • Selon Einstein, les 3 dimensions de l’espace et la dimension du temps (en tout 4 dimensions) sont liées dans un même tissu espace-temps.
  • il dit que l’espace est lisse et plat si aucune matière est présente
  • Mais si de la matière est présente, comme le soleil par exemple, ça provoque:
    • un déformation de ce plan
    • une courbe dans l’espace-temps
  • On peut imaginer une pomme qui déformerait un drap/tissu flottant
  • Les astres et planètes évoluent le long de ce tissu et déforment l’espace autour d’eux
  • Leurs poids déforment la surface de l’espace-temps comme s’il s’agissait d’un trampoline
  • C’est cette déformation qui transmet la force de gravitation
  • Les déformations de la surface du tissu espace-temps seraient la cause de la gravitation
  • Le soleil a courbé l’environnement spatial autour de lui
    • ce qui crée un sorte de vallée autour de lui
    • la terre roule le long de cette vallée
    • et c’est ce qui maintient l’orbite de la terre autour du soleil
  • cf image de l’espace-temps ci-dessous:
Wikipedia: Courbure de l'espace temps

Wikipedia: Influence d'une masse (ici la Terre) sur l'espace temps

Selon cette théorie:

  • la Terre n’est pas maintenue en orbite autour du soleil à cause du champs de gravitation de celui-ci comme l’a décrit Newton
  • mais suit plutôt les courbes de gravité du tissu espace-temps générées par le poids du Soleil.
  • Ainsi si le Soleil disparaît, la variation de masse résultante créerait des ondes de perturbation (comme des vagues) sur le tissu espace-temps.
  • Ces ondulations voyageraient à la vitesse de la lumière jusqu’à la Terre qui sortirait alors de son orbite.
  • En fait la théorie de la relativité générale définit la force de gravitation comme des courbes dans le tissu espace-temps générées par des objets lourds (étoiles, planètes…)
  • Ce modèle décrit un Univers organisé et prévisible.

Il ne reste plus à Einstein qu’à unifier la force de gravitation avec l’unique autre force connue à cette époque, la force électromagnétique

  • et toutes les lois de l’Univers seraient ainsi décrites au moyen d’une seule équation maîtresse.

Force Electromagnétique

  • Ce sont les équations de Maxwell-Lorentz qui constituent le postulat de base qui permet de réunir en une seule force électromagnétique la force électrique et la force magnétique.
  • Pour Einstein, les équations de Maxwell-Lorentz et la théorie de la relativité générale réunies au sein d’une seule et unique théorie réveillerait la nature de l’Univers.
  • Mais Einstein se heurte à un problème, la force de gravitation est infiniment plus faible que la force électromagnétique.
  • Ce conflit rend incompatible une théorie unique de l’Univers.

La Mécanique Quantique

C’est alors qu’apparaît la mécanique quantique

  • qui étudie les interactions qu’il existe entre les particules infiniment petites qui composent la matière.
  • La mécanique quantique définit 2 nouvelles forces atomiques qui viennent s’ajouter à la force de gravitation décrite par Einstein et à la force électromagnétique définie par Maxwell et Lorentz:
  • De plus, la mécanique quantique affirme qu’à l’échelle des particules règne l’incertitude.
  • C’est-à-dire, elle prône que l’issue d’une expérience est imprévisible (alors que pour rappel, Einstein décrit l’Univers comme organisé et prévisible!).
  • Les résultats ne peuvent uniquement être prédits qu’en termes de probabilité.
  • De plus, la mécanique quantique confirme que l’intensité des forces atomiques et de la force électromagnétique est infiniment plus élevée que l’intensité de la force de gravitation.

La différence d’intensité énorme qu’il existe entre les forces atomiques et la force de gravitation pose des problèmes:

  • Comment opère donc la force de gravitation au niveau des particules et quel est son rôle?
  • Elle est beaucoup trop faible pour maintenir unies les particules au sein du noyau.
  • Donc comment mettre en relation la force de gravitation et les forces atomiques?
  • Les équations de la relativité générale d’Einstein définissent très bien la force de gravitation comme une déformation du tissu espace-temps, mais quand on entre dans le monde sub-atomique la gravitation semble ne pas exister.
  • Les formules mathématiques de la mécanique quantiques expliquent très bien comment se comportent les particules sub-atomiques, mais ignorent complètement la force de gravitation.
    • Elle n’en a d’ailleurs pas besoin pour décrire le mouvement des particules.
  • C’est pour cette raison que lorsque le mécanique quantique s’applique aux systèmes macroscopiques (du domaine de la relativité), elle ne fonctionne pas.

Trou noirs

Certains comportements de l’Univers, comme par exemple les trous noirs, ne peuvent pas être expliqués complètement.

Les trous noirs

La Question: Pour analyser les trous noirs faut-il faire appel à la théorie de la relativité générale car l’étoile est compressée en un point très lourd ou faut-il plutôt s’appuyer sur la mécanique quantique car l’étoile est minuscule ?

  • On voit que si on applique les deux théories elles se heurtent au niveau des résultats et leurs prédictions sont incohérentes.

Le Conflit existant entre les deux théories

  • Le fait que tant la relativité que la mécanique quantique ne fonctionnent pas dans certains scénarios implique qu’il y a quelque chose d’incomplet dans ces théories. Cela empêche d’élaborer une Théorie du Tout “parfaite” qui fonctionne toujours
    • un modèle qui permettrait d’unifier et de réunir la théorie de la relativité générale d’Einstein (physique de l’infiniment  grand) avec celle de la mécanique quantique (physique de l’infiniment petit).
    • une Théorie unique du Tout capable de décrire tant les phénomènes du monde macroscopique que ceux du monde microscopique.
    • qui permettrait de définir l’Univers à toutes les échelles.
    • qui reflète les fondements ultimes qui régissent l’Univers.
    • un modèle qui démontrerait au moyen d’une seule équation mathématique que toutes les forces de l’Univers sont régies par ces 4 forces fondamentales (gravitation, électromagnétisme, interaction forte et interaction faible).
    • l’objectif est réellement d’atteindre l’expression mathématique finale qui nous amènerait à comprendre tout le Cosmos

La théorie des cordes

  • L’objectif de la théorie des cordes est de résoudre ce conflit.
  • La théorie des cordes est une approche complètement nouvelle de considérer la matière fondamentale et les forces qui agissent dans l’Univers.
  • Son originalité donnent des perspectives de pouvoir enfin unifier la théorie de la relativité générale avec celle de la mécanique quantique.
  • Son modèle mathématique basé sur les équations d’Euler

La suite, la semaine prochaine!

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